专题05 垂直平分线综合应用-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题05 垂直平分线综合应用 线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系-垂直，数量关系-平分，利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度、角的度数等，还可以解决实际生活中的选址等问题。 解题思路 垂直平分线作图步骤： 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到两边的距离相等。 典例分析 【典例1】（2022秋•秦淮区月考）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC． （1）若∠ADB＝48°，求∠A的度数； （2）若AB＝5cm，△ABC与△ABD的周长只差为8cm，且△ADB的面积为10cm2，求△DBC的面积． 【变式1-1】（2022秋•丛台区校级期末）如图，已知AB＝AC，BC＝6cm，△CBD周长为14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长为（　　） A．22cm B．16cm C．17cm D．20cm 【变式1-2】（2022秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G，连结AG，CG，若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面积为（　　） A．18 B．20 C．22 D．36 【典例2】（2022秋•昭阳区校级月考）如图，在ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为18cm，求AB的长； （2）若∠MFN＝65°，求∠MCN的度数． 【变式2-1】（2022秋•南开区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，DG、EF分别垂直平分AB，AC，垂足分别为G，F，求∠DAE的度数． 【变式2-2】（2022秋•渝北区校级期末）如图，∠BAC＝105°，AB＝AC，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．45° 【变式2-3】（2022秋•锡山区校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F． （1）若△AEF的周长为10cm，求BC的长； （2）若∠BAC＝110°，求∠EAF的度数． 夯实基础 1．（2022秋•大连期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）cm A．13 B．16 C．19 D．21 2．（2021春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC是（　　） A．34° B．36° C．44° D．46° 3．（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（　　） A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 4．（2022秋•荆门期末）如图，∠B＝15°，∠C＝25°，若MP和FN分别垂直平分AB和AC，则∠PAF等于（　　） A．100° B．95° C．85° D．80° 5．（2022秋•万全区期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC的垂直平分线交AC于点D．交BC于点E，且∠BAE与∠EAC的比为4：1，则∠C的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 6．（2022秋•镇江期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E在BC的垂直平分线上，∠A＝70°，∠ABD＝25°，则∠ACE的度数等于（　　） A．25° B．30° C．35° D．50° 7．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC交于点D，E，已知△ABC与△BCE的周长分别是28cm和16cm，则BD的长为 　 　cm． 8．（2022秋•九龙坡区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为点D，交BC于E，FG垂直平分AC，垂足为F，交BC于G．若∠B＝50°，∠C＝30°，则∠EAG的度数为 　 　． 9．（2022秋•市中区校级期末）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，点D、E在BC边上，且点D在点B和点E之间．若∠BAC＝100°，则∠DAE＝　 　． 10．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC＝10，求△ADE的周长； （2）若∠BAC＝128°，求∠