6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1 平面向量数量积的坐标表示 设，为与的夹角，则 (1) 数量积； (2) 夹角余弦值。 证明 （1）因为，， 所以 又，，， 所以； （2）因为，所以. 【例】已知，，为与的夹角，求和. 2 平面向量垂直 若 ，则. 证明 因为，所以与的夹角为， 所以， 又，所以， 【例】已知，，且，求. 【题型1】 平面向量数量积的坐标表示 【典题1】 已知，则 . 【典题2】已知向量且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 【巩固练习】 1.已知则在方向上射影的数量　 　． 2.已知向量，，则向量，的夹角为　 　． 3.已知，，若与的夹角为，则实数　 　． 【题型2】 平面向量垂直 【典题1】 已知，且，则　( ) A． B． C． D． 【典题2】已知向量，． (1)求与的夹角；(2)求；(3)若，求实数的值． 【巩固练习】 1.已知向量且则实数 . 2.在中，三顶点的坐标分别为为以为直角顶点的直角三角形，则　 　． 3.已知向量，． (1)求与的夹角；(2)若，求实数的值． 【题型3】综合运用 【典题1】 已知，，，，通过作图判断四边形的形状，并证明你的结论． 【典题2】如图，在直角梯形中，已知，∠，，，对角线交于点，点在上，且满足，则的值为　　． 【巩固练习】 1.已知点则以为顶点的四边形是(　　) A．梯形 B．邻边不等的平行四边形 C．菱形 D．两组对边均不平行的四边形 2.已知若对任意实数点都满足则的最小值为　 　，此时　 　． 3.如图，已知为矩形内的一点，且则　　． 4.如图，菱形的边长为对角线边上点与的延长线上点满足则向量的值是　　． 5.在平面上．若则的取值范围是 ． 【A组---基础题】 1.已知，且，则　( ) A． B． C． D． 2.设，，则的最大值是( ) A． B． C． D． 3.在平面四边形中则四边形的面积为(　　) A． B． C． D． 4. (多选)向量则下列说法正确的是　　 A．若则 B．若则 C．若则 D．若与夹角的余弦值为则或 5.向量在正方形(边长均为网格中的位置如图所示，则 6.已知向量若则实数　　． 7.已知向量，，若，夹角的余弦值为，则实数的值为　　． 8. 已知向量，． (1)求与的夹角；(2)求；(3)若，求实数的值． 9.在平面直角坐标系中为坐标原点，已知其中． (1)若求的值；(2)若求与的夹角． 10.如图所示，在矩形中点为边的中点，点在边上． (1)若点为线段上靠近的三等分点，求的值； (2)若求此时点的位置． 11.如图，在矩形中为的中点是边上靠近点的三等分点与于点．设． (1)求∠的余弦值．(2)用和表示； 【B组---提高题】 1.是边长为的正方形边界或内部一点，且则的最大值是　　． 2.如图，矩形中是矩形内的动点，且点到点距离为则的最小值为　　． 【C组---拓展题】 1.如图，在正方形中为的中点，点是以为直径的圆弧上任一点．设 (1)求的最大值、最小值．(2)求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 1 平面向量数量积的坐标表示 设，为与的夹角，则 (1) 数量积； (2) 夹角余弦值。 证明 （1）因为，， 所以 又，，， 所以； （2）因为，所以. 【例】已知，，为与的夹角，求和. 解 ， 又因为，，所以. 2 平面向量垂直 若 ，则. 证明 因为，所以与的夹角为， 所以， 又，所以， 【例】已知，，且，求. 解 ，，，解得. 【题型1】 平面向量数量积的坐标表示 【典题1】 已知，则 . 解析 由则 即即 则． 点拨 题中的向量均是坐标表示，则可把其他向量均用向量表示求解. 【典题2】已知向量且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 解析 向量且与的夹角为钝角， 所以且与不共线； 所以解得且 所以实数的取值范围是 ． 点拨 与的夹角为钝角，则且与不共线(注意与是方向相反的向量)； 与的夹角为锐角，则. 【巩固练习】 1.已知则在方向上射影的数量　 　． 答案 解析 ；； 在方向上的射影为． 2.已知向量，，则向量，的夹角为　 　． 答案 解析 ，且， ，的夹角为． 3.已知，，若与的夹角为，则实数　 　． 答案 解析 ，， ，，，