7.3 复数的三角形表示(选学)-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

7.3 复数的三角形表示(选学) 1复数的三角表示 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式，简称三角形式. 简称为代数形式. 解析 ① 如下图，向量的大小由其模，其方向角度决定；而复数与向量一一对应，故复数也可以用表示.由图显然可得，. 即 ② 显然，辐角有无限个，且这些值相差的整数倍. 规定：在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作，即.例如 ③ 复数的代数形式与三角形式可互换，根据不同的运算需要，它们各有优势. 【例】画出复数对应的向量，并表示成三角形式. 2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设， 则， 解释 ① 证明 . ② 两个复数，相乘时，可以如图，先分别画出与，对应的向量，然后把向量绕点按逆时针旋转角(如果，就要把绕点按顺时针旋转角)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是，这就是复数乘法的几何意义. 【例】若，求. ③ 复数的除法可看成是乘法的逆运算. 【题型1】 复数的三角形式与代数形式的互换 【典题1】 复数的代数形式与三角形式互化： (1)； (2)． 【巩固练习】 1.已知复数，则它的共轭复数的辐角主值是( ) A． B． C． D． 2.已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于( ) A． B． C． D． 3.的三角形式是( ) A． B． C． D． 【题型2】 复数乘、除运算的三角表示 【典题1】 ( ) A． B． C． D． 【典题2】已知，其中，是虚数单位，且，，则的值是 . 【巩固练习】 1.已知，则( ) A． B． C． D． 3.　　 ． 4.复数的三角形式是 . 5.计算的结果是 　　． 【题型3】复数三角形式的运用 【典题1】 如下图，复平面内的是等边三角形，它的两个顶点，的坐标分别为，，求点的坐标. 【巩固练习】 1.如下页图, 已知平面内并列的三个全等的正方形, 利用复数证明. 【A组---基础题】 1.复数的三角形式是( ) A． B． C． D． 2.瑞士数学家欧拉在年得到复数的三角形式：，为虚数单位)，根据该式，计算的值为( ) A． B． C． D． 3.已知，，则的辐角主值是( ) A． B． C． D． 4. (多选)已知，，则的值可以是( ) A． B． C． D． 5.写出复数的三角形式是 　 　．(辐角 6.设，，则　　． 7.已知复数，．求复数的模及辐角主值． 8.设复数，，其中． (1)若复数为实数，求的值； (2)求的取值范围． 【B组---提高题】 1.(多选)任何一个复数(其中为虚数单位)都可以表示成(其中的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：．我们称这个结论为棣莫弗定理．则下列判断正确的是( ) A．复数的三角形式为 B．，时， C．，时， D．，，“为偶数”是“为纯虚数”的必要不充分条件 2.设复数，，求复数的模和辐角． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 复数的三角形表示(选学) 1复数的三角表示 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形表示式，简称三角形式. 简称为代数形式. 解析 ① 如下图，向量的大小由其模，其方向角度决定；而复数与向量一一对应，故复数也可以用表示.由图显然可得，. 即 ② 显然，辐角有无限个，且这些值相差的整数倍. 规定：在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作，即.例如 ③ 复数的代数形式与三角形式可互换，根据不同的运算需要，它们各有优势. 【例】画出复数对应的向量，并表示成三角形式. 解 复数对应的向量如图所示，则，， 所以，于是. 不一定要去主值，也可以. 2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 设， 则， 解释 ① 证明 . ② 两个复数，相乘时，可以如图，先分别画出与，对应的向量，然后把向量绕点按逆时针旋转角(如果，就要把绕点按顺时针旋转角)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是，这就是复数乘法的几何意义. 【例】若，求. 解 . ③ 复数的除法可看成是乘法的逆运算. 【题型1】 复数的三角形式与代数形式的互换 【典题1】 复数的代数形式与三角形式互化： (1)； (2)． 解析 (1)； (2)． 点拨