6.4.3(3) 余弦定理、正弦定理的应用-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

6.4.3(3) 余弦定理、正弦定理的应用 1 解三角形 一般地，三角形的三个角,,和它们的对边,,叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2 余弦定理 (1) 内容 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即. （2） 变形 （3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知三边，可求三个角；(2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角. 3 正弦定理 内容 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 (其中是三角形外接圆半径) 变形 化边为角 ③ 化角为边 4 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； (2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. 5 面积公式 6 三角形解的个数问题 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 7 三角形类型的判断 · ； · ； · . 8 射影定理 【典题1】如图，是海平面上的两个点，相距，在点测得山顶C的仰角为，又在点测得，其中是点到水平面的射影，求山高. 【典题2】如图，一架飞机以的速度，沿方位角的航向从地出发向地飞行，飞行了后到达地，飞机由于天气原因按命令改飞地，已知，，，且，．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时地离地的距离是多少？(参考数据： 【巩固练习】 1.如图，为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，测得，又测得两点到隧道口的距离 在一条直线上)，计算隧道的长．(精确到) 2.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距的军事基地测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离． 3.为绘制海底地貌图，测量海底两点间的距离，海底探测仪沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得 ，同时测得海里． (1)求的长度；(2)求之间的距离． 4.如图所示，为美化环境，拟在四边形空地上修建两条道路，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点在边的三等分处(靠近点)，百米，百米，． (1)求区域的面积； (2)为便于花草种植，现拟过点铺设一条水管至道路上，求当水管最短时的长． 5.如图，海平面某区域内有三座小岛，岛的北偏东70°方向，岛的北偏东40°方向，岛的南偏东65°方向，且两岛间的距离为3海里． (1)求两岛间的距离； (2)经测算海平面上一轮船位于岛的北偏西50°方向，且与岛相距3海里，求轮船在岛的什么位置．(注：小岛与轮船视为一点) 【A组---基础题】 1.如图，在河岸边有一点，河对岸有一点，要测量两点之间的距离，先在岸边取基线，测得，求两点间的距离． 2.如图，隔河看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距两点，并测得在同一平面内)，求两个目标之间的距离． 3.某市一棚户区改造用地平面示意图如图所示．该区域是半径为的圆面，圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知． (1)求原棚户区建筑用地中对角线的长度； (2)请计算原棚户区建筑用地的面积． 4.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点，经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上，已知． (1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(结果精确到) (2)求景点与景点之间的距离．(结果精确到) 【B组---提高题】 1.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，为路灯灯杆，，在处安装路灯，且路灯的照明张角．已知． (1)当重合时，求路灯在路面的照明宽度； (2)求此路灯在路面上的照明宽度的最小值． 2.如图所示，某镇有一块空地，其中．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的一周安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【C组---拓展题】 1.如图，已知扇形是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为米，，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案： (1)如图1，拟在观光区内规划一条三角形形状的道路，道路的一个顶点在弧上，另一顶点在半径上，且，求周长的最大值； (