6.4.3(2) 正弦定理-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

6.4.3(2) 正弦定理 1正弦定理 内容 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 (其中是三角形外接圆半径) 证明 设的外接圆为， ① 当是直角三角形，，因为，所以， 同理，而，所以； ② 当是锐角三角形，过点作直径，连接， 则，同理，，所以； ③ 当是钝角三角形，令，优弧上取点， 与是锐角三角形时方法一样可得； 而，所以; 综上可得任意三角形中 (其中是三角形外接圆半径). PS 证明正弦定理有很多方法，课本中是向量法；这里使用外圆法，主要是引出比值等于，有助于对后面变式的理解. 变形 化边为角 ③ 化角为边 正弦定理的“齐次角边互换”理由 有角有边的等式 化为 只含边的等式 （*） 等式中含有三个式子(、、)，每个式子中都有一个值，并且它们的次数都是，则可以把直接转化为对应的边、！ 同理. 思考以下转化是否正确 (1) (错)， (2) (对) 2 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 【例】在，内角所对的边分别是，，，，，，则边 . (2) 已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边. 【例】在，内角所对的边分别是，，则角 . 3 三角形解的个数问题 已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解，要分类讨论. 是锐角 是直角或钝角 一解 无解 一解 两解 一解 无解 【例】求满足的三角形△ABC个数. 4 面积公式 证明 如图，在，内角所对的边分别是，，，过点作交于点， 则，其他类似证明可得！ 【题型1】 正弦定理解三角形 【典题1】 在中，已知，则角为　　 A． B．或 C．或 D． 【典题2】 在中，角的对边分别是，且面积为，若，则角等于(　　) A． B． C． D． 【巩固练习】 1.在中，已知，则角 . 2.设的内角的对边分别为，若，则 . 3.已知的三个内角的对边分别为，且满足，则等于 . 4.在中，内角的对边分别为，且，则　 　． 5.在中，角的对边分别为，且，则的面积为 . 【题型2】 三角形个数问题 【典题1】 在中，角的对边分别是，若，且三角形有两解，则角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【巩固练习】 1.(多选)已知的内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，有两解的是(　　) A． B． C． D． 【题型3】 解三角形的综合题 【典题1】 在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【典题2】在平面四边形中，． (1)求证：； (2)求的长． 【巩固练习】 1.在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角；(2)若，求． 2.已知的内角的对边分别为．且． (1)求； (2)若的面积为，周长为，求 3.如图所示，在中，点边上一点，且的中点，． (1)求的长；(2)求的面积． 【A组---基础题】 1.在中，60°，则角的值为(　　) A． B． C． D． 2.在中，内角所对的边分别是，若，且，则(　　) A． B． C． D． 3.在中，，则的值为(　　) A． B． C． D．1 4.在中，角所对的边分别为，①若，则；②若，则一定为等腰三角形；③若，则为直角三角形；④若为锐角三角形，则．以上结论中正确的有(　　) A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 5.(多选)在三角形中，下列命题正确的有(　　) A．若，则三角形有两解 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则的形状是等腰或直角三角形 6.在中，，则　　． 7.中，若，则等于 . 8.在中，若，则此三角形的最大边长为 . 9.在中，分别为角所对的边，且． (1)求角的大小；(2)若，求的面积． 10.如图，是直角三角形斜边上一点，． (1)若，求角的大小； (2)若，且，求的长． 11.的外接圆半径，角的对边分别是，且 (1)求角和边长； (2)求的最大值及取得最大值时的的值，并判断此时三角形的形状． 【B组---提高题】 1.在中，内角所对边分别为，若，则的大小是(　　) A． B． C． D． 2.在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3.如图，在平面