6.4.3(1) 余弦定理-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

6.4.3(1) 余弦定理 1 解三角形 一般地，三角形的三个角,,和它们的对边,,叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2 余弦定理 (1) 内容 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即. 证明 因为 所以， 同理可得. (2) 变形 (3)利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知三边，可求三个角； 【例】在中，若，则角 . (2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角. 【例1】在中，，则 .(角为两边的夹角) 【例2】在中，，则边 . (角不为两边的夹角) 3 三角形类型的判断 · ； · ； · . 4 射影定理 【题型1】 余弦定理解三角形 【典题1】 若的三边长分别为，则该三角形最大角的余弦值为 ． 【典题2】 的内角的对边分别为，已知，则　　． 【巩固练习】 1.在中，，则(　　) A． B． C． D． 2.在中，内角所对的边分别为．若3，则值为(　　) A． B．或 C． D．或 3.在中，已知角的对边分别为，，则边等于 . 4.在中，若，则 . 【题型2】 余弦定理的运用 【典题1】 已知中，角的对边分别为．若，则　　． 【典题2】 在中，角的对边分别为，已知，则边上的中线长　　． 【巩固练习】 1.在中，角的对边分别为．若，则的值为 . 2.在中，内角的对边分别为，若，则 . 3.设的内角的对边分别为．若，，则　　． 4.在钝角三角形中，，，则边的取值范围是　　 ． 5.在中，是边上一点，，，，则=　 　． 【A组---基础题】 1.已知分别为内角的对边，若，则(　　) A． B． C．或 D．或 2.在中，角所对的边分别为，若，则(　　) A． B． C． D． 3.(多选)已知中，角的对边分别为，且满足， 则( )　　 A． B． C． D． 4.在中，，则 . 5.在中，若，，，则的周长等于 . 6.已知中，角的对边分别为，且满足，则　　． 7.在中，角的对边分别为．已知，则　　． 8.在中，内角的对边分别为．已知，，．则的中线的长为　　． 9.如图所示，在平面四边形中，． (1)求；(2)求的长． 【B组---提高题】 1.中三边上的高依次为，判定的形状. 2.在中，，是边上一点，且满足，若，则=　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3(1) 余弦定理 1 解三角形 一般地，三角形的三个角,,和它们的对边,,叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2 余弦定理 (1) 内容 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即. 证明 因为 所以， 同理可得. (2) 变形 (3)利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题 (1) 已知三边，可求三个角； 【例】在中，若，则角 . 解 . (2) 已知两边和一角，求第三边和其他两个角. 【例1】在中，，则 .(角为两边的夹角) 解 . 【例2】在中，，则边 . (角不为两边的夹角) 解 或. 3 三角形类型的判断 · ； · ； · . 4 射影定理 【题型1】 余弦定理解三角形 【典题1】 若的三边长分别为，则该三角形最大角的余弦值为 ． 解析 的三边长分别为， 该三角形最大角的余弦值为． 点拨 三角形中大角对大边；已知三角形的三边可用余弦定理求三内角. 【典题2】 的内角的对边分别为，已知，则　　． 解析 因为， 所以由余弦定理可得：，即， 整理可得：，解得或(舍去)， 所以. 点拨 已知三角形的两边与一角，可用余弦定理求第三边.余弦定理有三条，那一般题中涉及哪个角就用对应的余弦定理公式. 【巩固练习】 1.在中，，则(　　) A． B． C． D． 答案 解析 因为， ， 故． 故选：． 2.在中，内角所对的边分别为．若3，则值为(　　) A． B．或 C． D．或 答案 解析 由余弦定理可得， 即，即，解得或， 故选：． 3.在中，已知角的对边分别为，，则边等于 . 答案 解析 由余弦定理得，． 4.在中，若，则 . 答案 解析 由余弦定理知， ，所以． 【题型2】 余弦定理的运用 【典题1】 已知中，角的对边分别为．若，则　　． 解析 由余弦定理及知，， 化简可得， 因为，所以，即， 由余弦定理知