8.3.2 独立性检验-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

前面我们通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联 . 对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大 . 因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算. 8.3.2 独立性检验 考虑以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y 为定义在Ω上，取值于{0, 1}的成对分类变量 . 我们希望判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联 . 注意到{X=0}和{X=1}, {Y=0}和{Y=1}都是互对立事件，与前面的讨论类似，我们需要判断下面的假定关系 H0: P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1) 是否成立，通常称H0为零假设或原假设. 这里，P(Y=1| X=0)表示从{X=0} 中随机选取一个样本点，该样本点属于{X=0 , Y=1}的概率； P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点，该样本点属于{X=1, Y=1}的概率. 由条件概率的定义可知，零假设 H0: P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1) 或 P(X=0, Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0). ① 等价于 注意到{X=0}和{X=1}为对立事件，于是 P(X=0)=1−P(X=1) . 再由概率的性质，我们有 P(X=0, Y=1)=P(Y=1) − P(X=1, Y=1). 由此推得①式等价于 P(X=1)P(Y=1)=P(X=1, Y=1). 因此，零假设H0等价于{X=1}与{Y=1}独立. 根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价: {X=0}与{Y=0}独立 ; {X=0}与{Y=1}独立; {X=1}与{Y=0}独立 ; {X=1}与{Y=1}独立. 因此，我们可以用概率语言，将零假设改述为 H0: 分类变量X和Y独立. 如果这些性质成立，我们就称分类变量X和Y独立，这相当于下面四个等式成立; P(X =0, Y=0 ) = P(X =0)P(Y =0); P(X =0, Y =1) = P(X =0)P(Y =1); P(X =1, Y =0) = P(X =1)P(Y =0); P(X =1, Y =1) = P(X =1)P(Y =1). 假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表: 最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数; 最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数; 中间的四个数a, b, c, d是事件{X=x, Y=y}(x, y=0, 1)的频数; 右下角格中的数n是样本容量. 对于随机样本，表中的频数a, b, c, d 都是随机变量，而表中的相应数据是这些随机变量的一次观测结果. 思考? 如何基于②中的四个等式及列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断? 在零假设H0成立的条件下，根据频率稳定于概率的原理, 由②中的第一个等式, 我们可以用概率P(X=0)和P(Y=0)对应的频率的乘积估计概率P(X=0, Y=0). 而把视为事件{X=0, Y=0}发生的频数的期望值(或预期值). 这样 , 该频数的观测值a和期望值应该比较接近. 综合②中的四个式子，如果零假设H0成立，下面四个量的取值都不应该太大: 反之，当这些量的取值较大时，就可以推断H0不成立. |a− |， |b− |， |c − |， |d− | . ③ 分别考虑③中的四个差的绝对值很困难, 我们需要找到一个既合理又能够计算分布的统计量, 来推断H0是否成立. 一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小. 为了合理地平衡这种影响，我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到如下的统计量: 该表达式可化简为 统计学家建议，用随机变量 χ2取值的大小作为判断零假设H0