8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 第1课时-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

8.2.2 一元线性回归模型 参数的最小二乘法估计 第1课时 复习回顾 1.一元线性回归模型 2.一元线性回归模型与函数模型的区别 Y称为因变量或响应变量， x称为自变量或解释变量， e是Y与bx+a之间的随机误差． a称为截距参数， b称为斜率参数. 在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计. 由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 探究！利用前面的散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近. 有的同学可能会想，可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点到直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置 . 测量出此时的斜率和截距，就得到一条直线． 有的同学可能会想，可以在散点图中选则这样的两点画一条直线，使得直线两侧点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线．如图所示. 还有的同学会想，在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距．如图. 同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行. 上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径. 先进一步明确我们面临的任务: 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看, 各散点与直线最接近”. 通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度. 我们设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1 , y1)，(x2 , y2），…，(xn , yn), 由yi=bxi+a+ei (i=1，2，…，n)，得 |yi−(bxi+a)|=|ei|. 由yi=bxi+a+ei (i=1，2，…，n)，得 |yi−(bxi+a)|=|ei|. 显然|ei|越小，表示点(xi，yi)与点(xi，bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小，如图所示. 特别地，当ei=0时，表示点(xi，yi)在这条直线上. 来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”. 因此可以用这n个竖直距离之和 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和 刻画 “整体接近程度”. 在上式中， xi，yi (i=1，2，…，n)是已知的成对样本数据，所以Q由a和b所决定，即它是a和b的函数. 这个和当然越小越好. 所以我们取使Q达到最小的a和b值, 作为截距a和斜率b的估计值. Q越小越好. 下面利用成对样本数据求使Q取最小值的a和b. 上式右边的各项均为非负数，且前n项与a无关 . 所以， 要使Q取到最小值，后一项的值应为0，即a=-b . 此时 上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为 所以，要使Q取到最小值，a=-b . 时， Q达到最小. 综上，当a, b的取值为 我们将 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法． 求得的，叫做b，a的最小二乘估计． 易得: 经验回归直线必过样本中心(, ); 与相关系数r符号相同. 对于上表中的数据，利 用我们学过的公式可以计算出 =0.839 ，=28.957，求出儿 子身高Y关于父亲身高x的经验 回归方程为 相应的经验回归直线如图所示. 思考? 当x=176时，≈177. 如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大成人后的身高一定是177cm吗? 为什么? 显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲的身高不能完全决定儿子的身高. 不过, 我们可以作出推测, 当父亲的身高为176cm时, 儿子身高一般在177cm左右. 实际上，如果把这所学校父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177cm是这个子总体均值的估计值. 这里的经验回归方程=0.839x+28.957中, 其斜率0.839可以解释为父亲身高每增加1cm，其儿