7.3.1 离散型随机变量的均值-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3 离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时, 直接使用分布列并不方便 . 例如, 要比较不同班级某次考试成绩, 通常会比较平均成绩; 要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此, 类似于研究一组数据的均值和方差, 我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差 , 它们统称为随机变量的数字特征. 7.3.1 离散型随机变量的均值 问题1: 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示： 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 , , , .甲n次射箭射中的平均环数为 如何比较他们射 箭水平的高低呢? 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为 , , , .甲n次射箭射中的平均环数为 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9 , 这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于 7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 如何比较他们射 箭水平的高低呢? 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9 , 这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于 7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 同理，乙射中环数的平均值为 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高. 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. 则称 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 例1 在篮球比赛中, 罚球命中1次得1分, 不中得0分 . 如果某运动员罚球命中的概率为0.8 , 那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 分析: 罚球有命中和不中两种可能结果, 命中时X=1, 不中时X=0, 因此随机变量X服从两点分布, X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平. 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2， 所以 E(X )=1×P(X=1)+0×P(X=0) =1×0.8+0×0.2 =0.8. 例2 抛掷一枚质地均匀的骰子, 设出现的点数为X, 求X的均值. P(X=k)= , k=1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6. 分析: 先求出X的分布列, 再根据定义计算X的均值. 因此 , E(X)= (1+2+3+4+5+6)=3.5. 解：X的分布列为 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么： E(X )=0×(1-p) + 1×p =p . 观察！ 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图, 如图(1)和(2)所示, 观察图形, 在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ 观察！ 在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？ 观察上图可以发现 , 在这12组掷骰子试验中 , 样本均值各不相同 , 但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动 , 且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的. 事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性, 它围绕随机变量的均值波动. 随着重复实验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来小. 因此, 我们常用随机变量的观测值去估计随机变量的均值. 探