7.2 离散型随机变量及其分布列-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

7.2 离散型随机变量及其分布列 求随机事件的概率时, 我们往往需要为随机试验建立样本空间 , 并会涉及样本点和随机事件的表示问题 , 类似函数在数集与数集之间建立对应关系, 如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应, 将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便, 而且能更好地利用数学工具研究随机试验. 有些随机试验的样本空间与数值有关系, 我们可以直接与实数建立关系. 例如，掷一枚骰子用实数m(m=1, 2, 3, 4, 5, 6)表示“掷出的点数为m”; 又如, 掷两枚骰子样本空间为Ω={ (x, y) | x, y =1, 2 , ⋯ , 6}, 用x+y表示“两枚骰子的点数之和”, 样本点(x, y)就与实数x+y对应. 有些随机试验的样本点与数值没有直接关系, 可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值. 例如，随机抽取一件产品, 有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关. 如果“抽到次品”用1表示, “抽到正品”用0表示, 即定义： 那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系. 类似地, 掷一枚硬币, 可将试验结果“正面朝上”用1表示, “反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩, 可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5，4，3，2，1; 等等. 对于任何一个随机试验, 总可以把它的每个样本点与一个实数对应. 即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X, 来刻画样本点和实数的对应关系, 实现样本点的数量化. 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性, 所以变量X的取值也具有随机性. 探究！考察下列随机试验及其引入的变量： 试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数; 试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要的抛掷次数. 这两个随机试验的样本空间各是什么? 各个样本点与变量的值是如何对应的? 变量X, Y 有哪些共同的特征? 对于试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X 表示三个元件中次品数; 如果用0表示“元件为合格品”, 1表示“元件为次品”, 用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点, 则样本空间 Ω1={000 , 001 , 010 , 100 , 011 , 101 , 110 , 111}, 各样本点与变量X的值的对应关系 如图所示. 探究！考察下列随机试验及其引入的变量： 试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要的抛掷次数. 这两个随机试验的样本空间各是什么? 各个样本点与变量的值是如何对应的? 变量X, Y 有哪些共同的特征? 对于试验2, 如果用h表示“正面向上”, t表示“反面向上”,例如用tth表示第3次才出现 “正面向上”, 则样本空间： Ω2包含无穷多个样本点，各样本点与变量Y 的值的对应关系如图所示. Ω2={h，th，tth，ttth，…} 在上面两个随机试验中, 每个样本点都有唯一的一个实数与之对应. 变量X，Y有如下共同点： 一般地, 对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数 X(ω）与之对应，我们称X为随机变量. 试验1中随机变量X的可能取值为0, 1，2，3，共有4个值；试验2中随机变量Y的可能取值为1, 2，3，…，有无限个取值，但可以一一列出. 像这样，可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量，我们称为离散型随机变量. (1)取值依赖于样本点 (2)所有可能取值是明确的. 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 不难发现, 随机变量的定义与函数的定义类似, 这里样本点ω相当于函数定义中的自变量, 而样本空间Ω相当于函数的定义域, 不同之处在于Ω不一定是数集 . 随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件. 现实生活中, 离散型随机变量的例子有很多 . 例如, 某射击运动员射击一次可能命中的环数X, 它的可能取值为0，1，2，…，10；某网页在24h内被浏览的次数Y，它可能取值为0，1，2，…；等等. 现实生