7.1.2 全概率公式-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.2 全概率公式 思考? 从有a个红球和b个蓝球的袋子中, 每次随机摸出1个球 , 摸出的球不再放回 . 显然 , 第1次摸到红球的概率为 . 那么第2次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢？ 因为抽签的公平性 , 所以第2次摸到红球的概率也应该是 . 但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导. 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题. 思考? 从有a个红球和b个蓝球的袋子中, 每次随机摸出1个球, 摸出的球不再放回. 显然, 第1次摸到红球的概为 .那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ P(R2|R1) P(B2|R1) P(R2|B1) P(B2|B1) 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2. 如图所示. 事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即 R2=R1R2∪B1R2. 利用概率的加法公式和乘法公式，得 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2. 如图所示. 事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即 R2=R1R2∪B1R2. 利用概率的加法公式和乘法公式，得 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率 　　 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 我们称上面的公式为全概率公式．全概率公式是概率论中最基本的公式之一. 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 例4 某学校有A, B两家餐厅, 王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”, B1=“第1天去B餐厅用餐”, A2=“第2天去A餐厅用餐”,则 Ω= A1∪B1 ，且A1与B1互斥， 例4 学校有A, B两家餐厅, 若王同学第1天去A餐厅, 那么第2天去A餐厅的概率为0.6; 若第1天去B餐厅, 那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”, B1=“第1天去B餐厅用餐”, A2=“第2天去A餐厅用餐”,则 Ω= A1∪B1 ，且A1与B1互斥， 根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5 , P(A2|A1)=0.6 , P(A2|B1) =0.8 , 由全概率公式，得 =0.5✖0.6+0.5 ✖0.8=0.7 P(A2) = P(A1) P(A2|A1)+ P(B1) P(A2|B1) 因此，王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7. 例5 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第 i(i=1，2，3)台车床加工的概率. A1 A2 A3 A3B A1B A2B 分析: 取到的零件可能来自第1台车床, 也可能来自第2 台或第3台车床, 有3种可能. 设B=“任取一零件为次品”, Ai =“零件为第i台车床加工”(i=1, 2, 3), 如图所示, 可将事件B 表示为3个两两互斥事件的并, 利用全概率公式可以计算出 事件B的概率. 8 例5 3台车床的第1台加工的次品率为6%, 第2, 3台加工的次品率均为5%, 加工出来的零件混放在一起. 已知第1, 2, 3台车床加工的零件数分别占总数的25%, 30%, 45%. (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； A1 A2 A3 A3B A1B A2B