专题6.2 新定义中的数字问题（压轴题专项讲练）-2022-2023学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题6.2 新定义中的数字问题 【典例1】材料阅读：材料一：若a是正整数，a除以6的余数为1，则称a是“余一数”．例如：13是正整数且…1，则13是“余一数”．材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a、百位数字为b、十位数字为c、个位数字为d，规定：．请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断：346，1537是不是“余一数”？并说明理由； （2）若四位正整数q是“余一数”，q的千位数字与个位数字的和等于7，百位数字与十位数字的和等于6，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，是有理数，求所有满足条件的q． 【思路点拨】 （1）根据“余一数”的定义即可一一判定； （2）设q的千位数字为a，百位数字为b，，且a、b是整数，则十位数字为6-b，个位数字为7-a，且q=999a+90b+67，根据q被6除余1，可设q=999a+90b+67=6k+1(k是正整数)，则，可得a是2的倍数，即a=2或4或6，依题意可得，再根据是有理数，把a、b可取的值分别代入，即可求得． 【解题过程】 （1）解：346不是“余一数”，1537是“余一数” 理由如下： 346不是“余一数” 1537是“余一数” （2）解：设q的千位数字为a，百位数字为b，，且a、b是整数 则十位数字为6-b，个位数字为7-a， 且q=1000a+100b+10(6-b)+(7-a)=999a+90b+67 q被6除余1 设q=999a+90b+67=6k+1(k是正整数) 则 a是2的倍数，即a=2或4或6 依题意可知： 是有理数 与都是完全平方数 若a=2时，满足条件的b有，b=2 此时，q=2245（舍去，不满足千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和）， 若a=4时，满足条件的b有，b=5 此时，q=4513 若a=6时，满足条件的b有，b=3 此时，q=6331 综上，据有满足条件的q的值为4513、6331． 1．（2022·重庆·西南大学附中校考模拟预测）阅读材料：材料一：对于一个四位数n，若满足各个数位上的数字均不为零，且千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”.例如： ，∵，∴8563是“等差数”； ，∵，∴2715不是“等差数”； 材料二：将一个四位数n（十位上的数字不为零）千位上的数字与十位上的数字交换，百位上的数字与个位上的数字交换可以得到一个新的四位数，记.例如：，，则. 请根据上述材料解决下列问题： （1）判断4312和2817是否为“等差数”，并说明理由； （2）求证：对于任意一个“等差数”m，都能被11整除； （3）若s和t都是“等差数”，其中，（，，，，a，b，x，y均为整数），且，求s的值. 2．（2022春·重庆开州·九年级校联考阶段练习）两位数m和两位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m的个位数字和十位数字分别与n的个位数字和十位数字相乘，按照这种方式产生的所有的积的和记为F（m，n）． 例如：F（13，24）=1×2+1×4+3×2+3×4=2+4+6+12=24． 又如：F（35，16）=3×1+3×6+5×1+5×6=3+18+5+30=56． （1）计算：F（17，23）= ．F（31，72）= ． （2）若一个两位数m=21a+b，两位数n=53+b（1≤a≤4，1≤b≤5，且a，b都取整数），交换m的十位数字和个位数字得到新两位数，当与n的个位数字的5倍的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“最美数对”，求所有“最美数对”F（m，n）的最大值． 3．（2022秋·重庆渝北·八年级校联考阶段练习）对任意的一个三位数A，如果其各个数位上的数字均不为零，且满足任意两个数位上的数字之和大于余下数位上的数字，那么称这个三位数A为“三角形数”．把“三角形数”A的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为；把A的百位数字的3倍，十位数字的两倍和个位数字之和记为． 例如：732，因为，所以732不是一个“三角形数”； 678，因为，，，所以678是一个“三角形数”； 所以，． （1）请问398是不是“三角形数”，并说明理由； （2）已知“三角形数”A满足百位数字比十位数字大1，且除以5的余数是2，求所有满足条件的A的值． 4．（2022春·重庆·八年级重庆一中校考阶段练习）对于任意一个四位数，如果百位上的字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的3倍，则称这个四位数为“三倍数”．对于一个“三倍数”M＝，将它的千位和十位数字构成的两位数记为，百位和个位数字构成的两位数记为，规定F（M）＝．例如：1452是“三倍数”，因为4+5＝9，1+2＝3，9是3的3倍，则F（1452）＝；3674不是“三倍数