专题7.9 正态分布（重难点题型精讲）-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.9 正态分布（重难点题型精讲） 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 【题型1 正态曲线的特点】 【方法点拨】 根据正态曲线及其性质，结合正态曲线的特点，进行求解即可. 【例1】（2023·高三课时练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【变式1-1】（2022秋·上海黄浦·高三期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022春·广东清远·高二期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-3】（2022春·江苏常州·高二期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【题型2 利用正态曲线的对称性求概率】 【方法点拨】 利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型.解题的关键是利用对称轴x=确定所求概率对应的 随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断. 【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022春·湖南张家界·高二期末）已知随机变量X服从正态分布 ，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022春·吉林长春·高二期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用正态分布的3原则求概率】 【方法点拨】 利用正态分布的3原则求概率一定要灵活把握3原则，将所求概率向P(-X+)，P(-2X +2)，P(-3X+3)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率.同时要充分利用好正态曲线的对 称性和正态曲线与x轴之间的面积为1. 【例3】（2022春·河北衡水·高二阶段练习）若，则（    ） （参考数据：，） A．0.97725 B．0.9545 C．0.9973 D．0.99865 【变式3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，则的值约为 （    ） 附：若，则，， A． B． C． D． 【变式3-2】（2022春·河南洛阳·高二阶段练习）某工厂生产的零件的尺寸（单位:）服从正态分布.任选一个零件，尺寸在的概率为（    ） 附:若，则，，. A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545 【变式3-3】（2022春·河南·高二阶段练习）已知某批零件的尺寸（单位：）服从正态分布，其中的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件，则抽到合格品的概率约为（    ） （附：若，则，，） A． B． C． D． 【题型4 正态分布的实际应用】 【方法点拨】 利用服从正态分布N(,)的随机变量X在三个特殊区间上取值的