专题7.7 二项分布与超几何分布（重难点题型精讲）-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.7 二项分布与超几何分布（重难点题型精讲） 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的 次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽 取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义. 5．超几何分布与二项分布的关系 (1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有 截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的. (2)事实上，在次品件数为确定数M的足够多的产品中，任意抽取n件(由于产品件数N无限多，无放回与有放回无区别，故可看作n重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布. 【题型1 二项分布的概率计算】 【方法点拨】 对于二项分布的概率计算问题，根据二项分布的定义及二项分布的分布列，进行求解即可. 【例1】（2022春·新疆·高二阶段练习）已知随机变量服从二项分布，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022·高二单元测试）已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【变式1-2】（2022·高二课时练习）设随机变量，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 二项分布的期望与方差】 【方法点拨】 根据题目条件，结合二项分布的期望与方差公式，进行转化求解即可. 【例2】（2022·高二课时练习）已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（    ） A． B．8 C．12 D．24 【变式2-1】（2022春·安徽滁州·高二阶段练习）德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（    ） A． B．2 C． D．3 【变式2-2】（2022春·北京·高二期末）已知随机变量，若，则分别是（    ） A．4和2.4 B．5和2.1 C．2和2.4 D．4和5.6 【变式2-3】（2022秋·河南南阳·高三阶段练习）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型3 二项分布中的最大值问题】 【方法点拨】 对于二项分布中的最值问题，结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k的值，进行求解即可. 【例3】（2022春·山东枣庄·高二期末）某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3-1】（2022春·北京通州·高二期末）若，则取得最大值时，（    ） A．4 B．5 C．6 D．5或6 【变式3-2】（2022春·广东云浮·高二期末）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型4 超几何分布的判断】 【方法点拨】 对于所给的随机变量X，根据超几何分布的定义来进行判断即可. 【例4】（2022·全国·高三专题练