导数的概念与意义（基础）讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

可导函数的概念、意义与运算(基础) 一、平均变化率 1、求函数平均变化率分两步: (1) 作差,先求出⊿x=x2-x1,⊿y=f(x2)-f(x1); (2) 作商,对所求的差作商得 2、求函数平均变化率的注意点: (1) ⊿x可正可负,但不可为0,⊿y可以为0(此时f(x)为常数函数; (2) 求点x0附近的平均变化率,可用的形式. 例1.设函数,当自变量x由1变到1.1时,函数的平均变化率 ( ) A.2.1 B.1.1 C.2 D.0 练习:函数在[0,π]上的平均变化率为( ) A.1 B.2 C.π D. 二、瞬时变化率: 设函数在附近有定义,当自变量在附近改变量为时,函数值相应地改变,如果当趋近于0时,平均变化率趋近于一个常数c(也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小,可以小于任意小的正数),那么常数c(或极限值)称为函数在点的瞬时变化率. 3、导数:当趋近于零时,趋近于常数c。可用符号“”记作:当时,或记作,符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率,通常称作在处的导数,并记作。 例2.设是可导函数,且 ( ) A. B.-1 C.0 D.-2 练习: 1、若,则( ) A. B. C. D. 2、若f ′(x0)=4,则=( ) A. 2 B. 4 C. D. 8 3、已知函数f(x)在x=x0处的导数为12,则( ) A.-4 B.4 C.-36 D.36 三、导函数:如果在开区间内每一点都是可导的,则称在区间可导。这样,对开区间内每个值,都对应一个确定的导数=。于是,在区间内,构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数的导函数。记为或(或)。 四、导数的几何意义 1、函数在一点的导数等于函数图形上对应点的切线斜率,即,其中是过的切线的倾斜角,过点的切线方程为 . 2、与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程.解决此类问题的步骤为:①求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率; ②由点斜式求得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0). (2)已知斜率求切点:已知斜率R,求切点(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)求切线倾斜角的取值范围:先求导数的取值范围,即确定切线斜率的取值范围,然后利用正切函数的单调性解决. 例3、曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 练习: 1、与直线的平行的抛物线的切线方程是( ) A. B. C. D. 2、曲线在点M(e,1)处的切线的斜率是_,切线的方程为_. 3、求过点且与曲线相切的直线方程. 4、求抛物线 上的点到直线的最短距离. 5、设的导数满足,其中常数,求曲线在点处的切线方程。 五、导数的物理意义 函数在的导数是函数在该点处平均变化率的极限,即瞬时变化率,若函数表示运动路程,则表示在时刻的瞬时速度。 六、几种常见函数的导数公式: 若,则; 若,则; 若,则; 若,则; 若,则; 若,则; 若,则; 若,则. 七、函数的求导法则: 1)函数和(或差)的求导法则:设,是可导的,则即,两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)。 2)函数积的求导法则:设,是可导的,则即,两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数。 3)函数的商的求导法则:设,是可导的,,则 例4.在高台跳水运动中时运动员相对于水面的高度(单位:)是,则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是( ) A. B. C.13.1 D.3.3 练习: 1、一个物体的位移s关于时间t的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是:m,t的单位是:s,那么物体在t=3 s时的瞬时速度是 A.5 m/s B.6 m/s C.7 m/s D.8 m/s 2、曲线在处的导数是,则等于( ) A. B. C. D. 3、下列求导数运算正确的是( ). A. B. C. D. 4、 求下列函数的导函数: (1)y=lnx+2x2-3x-1+ sinx – cosx + ex ; (2); (3)y=x3cosx; (4)y=tanx. 5、设点P是函数图象上的任意一点,点P处切线的倾斜角为,则角的取值范围是( ) A. B. C. D. 6、已知函数,则( ) A.1 B.-1 C. D. 7、 函数的图象在点处的切线的倾斜角为,则( ) A. B. C. D. 8、已知函数,则函数的图象在点处的切线斜率为( ) A. B. C. D. 9、点在曲线上移动,设点处切线的倾斜角为,则角的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、如果质点A按照规律S=5t2运动,则在t=3时的瞬时速度为_. 八、复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在