6.3.1 二项式定理-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

  6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 1 1 探究！ 我们知道 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, (1)观察以上展开式, 分析其运算过程, 你能发现什么规律? (2)根据你发现的规律，你能写出(a+b)4的展开式吗？ (3)进一步地，你能写出(a+b)n的展开式吗？ 我们先来分析(a＋b)2的展开过程，根据多项式乘法法 则， (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b ＝a2＋2ab＋b2 可以看到，(a+b)2 是2个 (a+b) 相乘，只要从一个(a+b) 中选一项(选a或b)，再从另一个(a+b)中选一项(选a或b)，就得到展开式的一项.   下面我们再来分析一下形如a2-kbk的同类项的个数 . (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b 当k=0时, a2-kbk= a2, 这是由2个(a+b)中都不选b得到的,因此，a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b (都取a)的组合数C20 , 即a2只有1个 . 当k=1时, a2-kbk= ab, 是由1个(a+b)中选a, 另1个(a+b)中选b得到的 . 由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数C21，即ab共有2个 . (a+b)2的展开式每一项都是a2-kbk (k=0, 1, 2)的形式 . 下面我们再来分析一下形如a2-kbk的同类项的个数 . (a＋b)2＝(a＋b)(a＋b) ＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b 当k=0时, a2-kbk= a2, a2出现的次数为组合数C20 , 即a2只有1个 . 当k=1时, a2-kbk= ab, ab出现的次数为组合数C21，即ab共有2个 . 当k=2时, a2-kbk= b2, 是由2个(a+b)中都选b得到的，因此, b2出现的次数相当于从2个(a+b)中取2个b的组合数C22, 因此b2只有1个 . (a+b)2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2. 由以上分析可以得到： 思考? 仿照上述过程, 你能利用计数原理, 写出(a＋b)3, (a＋b)4的展开式 吗? ① 项a3-kbk:(k=0, 1, 2, 3)   ③ 展开式： (1) 3个括号中都不取b(全都取a)得：C30 a3; (2) 3个括号中有1个取b，剩下的2个都取a得:C31a2b; (4)3个括号中全都取b得: C33b3. (3) 3个括号中有2个都取b，剩下的1个取a得:C32ab2 ; a4 a3b a2b2 ab3 b4 都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 四 个 b 项： 系数： (a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)4=C40a4 +C41a3b +C42a2b2 +C43ab3 +C44b4 展开式： 由于(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开的一项. 对于某个k (k∈{0, 1, 2, …, n }), 对应的项an-kbk是由n-k个(a+b)中选a，k个(a+b)中选b得到的. 因此, 由分步乘法计数原理, 在合并同类项之前, (a+b)n的展开式共有2n项, 而且每一项都是an-kbk (k=0，1，2，…，n)的形式 . 从上述对具体问题的分析得到启发, 对于任意正整数n,我们有如下猜想： 下面我们对上述猜想的正确性予以说明. 由于b选定后, a的选法也随之确定, 因此, an-kbk出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数Cnk . 这样，(a+b)n的展开式中，an-kbk共有Cnk个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式: 对于某个k (k∈{0, 1, 2, …, n }), 对应的项an-kbk是由n-k个(a+b)中选a，k个(a+b)中选b得到的. 因此, 由分步乘法计数原理, 在合并同类项之前, (a+b)n的展开式共有2n项, 而且每一项都是an-kbk (k=0，1，2，…，n)的形式 . 下