6.2.3 组合+6.2.4组合数-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.3 组合 6.2.4 组合数 探究!从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动, 有多少种不同的选法? 这一问题与6.2.1节问题1有什么联系与区别? 分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“乙上午，甲下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的. 同样, 先选出甲、丙或乙、丙, 再分配上午和下午也各有2种方法. 而从甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序. 于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：甲乙、甲丙、乙丙. 从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组？ 将具体背景舍去，问题1可以概括为： 这就是我们要研究的问题. 一般地, 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 思考? 你能说一说排列与组合之间的区别与联系吗? 从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，这是它们的共同点. 但排列与元素的顺序有关, 而组合与元素顺序无关. 只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的； 而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列. 由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图所示. 由此，上面的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组，也就是上面探究问题的3个组合. 思考? 校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆. 下面的问题是排列问题，还是组合问题? (1)从中选3辆，有多少种不同的方法？ (2)从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？ 在(2)中，不仅要选出3辆车，还要分配给3位同学，有顺序，是一个排列问题. 在(1)中，选出3辆车即可，没有顺序，是一个组合问题； 例5 平面内有A，B，C，D共4个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 分析: (1)确定一条有向线段 , 不仅要确定两个端点 , 还要考虑他们的顺序 , 是排列问题； 解：(1)一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为 =4×3=12. 这12条有向线段分别为 , , , , , , , , , , , 例5 平面内有A，B，C，D共4个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 分析: (2) 确定一条线段, 只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序, 是组合问题. 解: (2)由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段, 就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条： AB , AC , AD , BC , BD , CD. 思考? 利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5 (1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？ 例5 平面内有A，B，C，D共4个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 类比排列数，我们引进组合数概念: 例如, 从3个不同元素中取出2个元素的组合数, 表示为, 从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为. 探究！前面已经提到 , 组合和排列有关系 , 我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢？ 前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系. 从3个不同元素中取出2个元素的组合数 =3. 运用同样的方法, 我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数