6.2.2 排列数-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.2 排 列 数 前面给出了排列的定义，研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？下面探究计算排列个数的公式. 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号表示. 例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数, 表示为 . 已经算得 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数, 表示为 . 已经算得 =3×2=6. =4×3×2=24. 探究！从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 (m≤n)是多少？ 可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数 . 根据前面的求解经验，可以这样考虑： 假定有排好顺序的两个空位 , 如图所示 , 从n个不同的元素中取出2个元素去填空, 一个空位填一 个元素, 每一种填法就得到一个排列； 反过来，任一个排列总可以由这样一种填法得到. 因此，所有不同填法的种数就是 . 现在我们计算有多少种填法. 完成填空这件事可分为两个步骤： n种 (n-1)种 因此，所有不同填法的种数就是 . 现在我们计算有多少种填法. 完成填空 这件事可分为两个步骤： 第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个元素中任选1个，有n种方法； 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任选1个，有(n-1)种方法； 根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为 =n(n-1). 第1位 第2位 第3位 n-2 n n-1 同理，求排列数按依次填3个空位来考虑，有 =n(n-1)(n-2). 假定有排好顺序的m个空位，如图，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列. 第1步, 从n个不同元素中任选1个填在第1位上, 有n种选法； 第2步 , 从剩下的(n-1)个元素中任选1个填第2位上 , 有(n-1)种选法； 填空可分为m个步骤： 一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑： 因此，所有不同填法的种数就是排列数 . · · · · · · 第1位 第2位 第3位 第m位 n n-1 第1步, 从n个元素中任选1个填在第1位上, 有n种选法； 第2步, 从剩下的(n-1)个元素中任选1个填在第2位上, 共有(n-1)种选法； 填空可分为m个步骤： 所有不同填法的种数就是排列数 . · · · · · · 第1位 第2位 第3位 第m位 n n-1 n-2 n-(m-1) 第3步, 从剩下的(n-2)个元素中任选1个填在第3位上, 共有(n-2)种选法； 第m步, 从剩下的n-(m-1)个元素中任选1个填第m位上，共有n-m+1种选法； 第1步, 第1位n种选法； 第2步，第2位有(n-1)种选法； 填空可分为m个步骤： 第3步，第3位有(n-2)种选法； 第m步, 第m位有n-m+1种选法； 根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为： 这样，我们就得到公式： n(n-1)(n-2)∙∙∙(n-m+1). =n(n-1)(n-2)∙∙∙(n-m+1). 这里, m, n∈N*, 并且m≤n. 这个公式叫做排列数公式. (3)共有m个因数． 排列数公式有何特征： (1)第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1． (2)最后一个因数是n－m＋1． 根据排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同的元素中取出m(m≤ n)个元素的所有排列的个数，例如 单击此处编辑母版文本样式 二级 三级 四级 五级 　 也就是说 , n个不同元素全部取出的排列数 , 等于正整数1到 n 的连乘积. 　 特别的 , 我们把n个不同元素全部取出的一个排列 , 叫做 n个元素的一个全排列，这时公式中的m＝n，即有 另外，我们规定　0!＝1. 正整数1到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示， 于是，n个不同元素的全排列数公式可以写成 例3 计算 (1) (2) (3) (4). (1) =7×6×5=210; (2) =7×6×5×4=840; (3)= = 7×6×5=210; (4)=6×5×4×3×2×1=6!=720. 解: 根据排列数公式 , 可得 思考? 由例3可以看出， = ; , 即 .观