6.2.1 排列-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2 排列与组合 6.2.1 排列 在上节例8中我们看到，用分步乘法计数原理解决这个问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐. 能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体的问题. 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 第一步：确定参加上午活动的同学, 从3人中任选1人,有3种选法; 第二步：确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后, 参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，有2种方法. 此时, 要完成的一件事情是选出2名同学参加活动, 1名参上午的活动, 另1名参加下午的活动, 可以分两个步骤. 根据分步乘法计数原理, 不同选法的种数为 N=3×2=6. 2 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ 6种选法如图所示. 上午 下午 相应的排法 甲 乙 丙 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲丙 甲乙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 问题1中的顺序是什么？ 参加上午的活动在前, 参加下午的活动在后. 如果把上面问题中被取出的对象叫做元素, 于是问题就可叙述为： 从3个不同的元素a, b, c中任取2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb 不同的排列方法种数为 3×2=6. 所有不同的排列是： 问题2　从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 显然, 从4个数字中, 每次取出3个, 按“百位”“十位” “个位” 的顺序排成一列，就得到一个三位数 . 因此，有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三 位数. 问题2 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 可以分三个步骤来解决这个问题： 第1步, 确定百位上的数字, 在1, 2, 3, 4这4个数字中任取 1个，有4种方法； 第2步, 确定十位上的数字, 当百位上的数字确定后, 十位上的数字只能从余下的3个数字中去取, 有3种方法； 第3步, 确定个位上的数字, 当百位、十位上的数字确定后, 个位的数字只能从余下的2个数字中去取, 有2种方法. 根据分步乘法计数原理，从1, 2, 3, 4这4个不同的数字中，每次取出3个数字排成三位数，不同的排法种数为 4×3×2＝24 . 根据分步乘法计数原理, 从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3数字, 按“百位、十位、个位”的顺序排成一个三位数，共可得到24个不同的三位数，如图所示. 百位 十位 个位 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。 由此可写出所有的三位数： 同样，问题2可以归结为： a b c, a b d, a c b, a c d, a d b, a d c; b a c, b a d, b c a, b c d, b d a, b d c; c a b, c a d, c b a, c b d, c d a, c d b; d a b, d a c, d b a, d b c, d c a, d c b. 从４个不同的元素a，b，c，d中任取３个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 所有不同的排列是 不排列方法种数 4×3×2=24 . 问题2中的顺序是什么？ 百位在前，十位居中，个位在后. 思考? 问题1、2 的共同特点是 ? 你能将它们推广到一般情形吗? 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数. 一般地 , 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素, 并按照一定的顺序排成一列 , 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列. 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是: 两个排列的元素完全相