6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时-2022-2023学年高二数学同步教学课件（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时 汽车牌照的序号一般是从26个英文字母、10个阿拉伯数字中选出若干个，并按照适当顺序排列而成 . 随着人们生活水平的提高，家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌子号码需要扩容 . 那么，交通管理部门应该如何确定序号的组成方法，才能满足民众的需求呢？这就需要数出某种汽车号牌的组成方案下所有可能的序号数，这就是计数. 日常生活、生产中类似的问题大量存在 . 例如，幼儿会通过一个一个地数的方法，计算自己拥有玩具的数量；学校要举行班际篮球比赛，在确定赛制后，体育组的老师需要知道共需要举行多少场比赛. 在小学我们学了加法和乘法，这是将若干个“小”的数结合成“较大”的数最基本的方法 . 这两种方法经过推广就成了本章将要学习的分类加法计数原理和分步乘法计数原理 . 这两个原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，利用两个计算原理还可以得到两类特殊计数问题的计数公式——排列数公式和组合数公式，应用公式就可以方便地解决一些计数问题. 用红、黄、绿三面旗帜组成航海信号，颜色的不同排列表示不同的信号，需要知道共可以组成多少种不同的信号……如果问题中数量很少，一个一个地数也不失为一种计数的好方法 . 但如果问题中数量很多，我们还一个一个地去数吗？ 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时 作为计数原理与计数公式的一个应用，本章我们还将学习在数学上有广泛应用的二项式定理. 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. 思考? 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 因为英文字母共有26个, 阿拉伯数字共有10个, 所以总共可以编出 26+10=36 种不同的号码. 探究! 你能说说这个问题的特征吗? 首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是 “或”字的出现: 一个座位可以用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示 . 因为英文字母、阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也是互不相同的 . 这两类号码数相加就得到号码的总数. (1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； (2)分别计算各类号码的个数； (3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数. 你能举出一些生活中类似的例子吗？ 上述计数过程的基本环节是： 一般地，有如下分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法. 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：这名同学可以选择A，B大学中的一所. A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 分析 : 要完成的事情是“选一个专业” . 因为这名同学在A , B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件. 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 解：这名同学可以选择A，B大学中的一所 . 在A大学中有5种专业选择 方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的. A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为 N=5+4=9. 探究！如果完成一件事有三类不同方案, 在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法,在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ N＝m