2.2.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质课件2022-2023学年北师大版九年级数学下册

2.2.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 第二章 二次函数 1 开口方向 对称轴 顶点 a>0 a<0 向上 向下 直线x=h (h,k) 二次函数 图象特征 二次函数y=a(x-h)2+k的性质 y=a(x-h)2+k 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. (1) y=2(x-1)2+3 (2) y=-2(x+1)2+1 (1)开口向上,对称轴x=1,顶点坐标(1,3), (2)开口向下,对称轴x=-1,顶点坐标(-1,1). 课前检测 我们探究了二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质,那么二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质如何呢? 你能说出二次函数y=2x²-8x+7的图象和性质吗? 问题探究: 探究新知 例1 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 解: y = 2x2-8x+7 = 2(x2-4x)+7 = 2(x2-4x+4)-8+7 = 2(x-2)2-1 提取二次项系数 配方 顶点式 因此,二次函数y=2x2-8x+7的图象是一条开口向上的抛物线; 对称轴是直线=2;顶点坐标为(2,-1); = 2(x2-4x+4-4)+7 1.确定下列二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. (1) y=3x2-6x+7; (2) y=2x2-12x+8; 巩固练习1 从上面的探究可知,对于二次函数的一般式 y=2x²-8x+7 可以转化为顶点式y= 2(x-2)2-1来研究其图象和性质。 二次函数的一般式y=ax²+bx+c 化为y=a(x-h)²+k的形式。 做一做 二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. 解: ∴二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线 ,顶点坐标为 . y O x (a>0) y O x (a<0) 二次函数y=ax2+bx+c的图象: 最小值 最大值 由+的性质得到的性质。 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 (>0) 开口向上,越大开口越小 关于直线=对称 坐标(,) =时,函数有最小值 =时,函数有最大值 当<(即在对称轴的左边)随的增大而减小; 当>(即在对称轴的右边)随的增大而增大。 当(即在对称轴的左边)随的增大而增大; 当>(即在对称轴的右边)随的增大而减小。 (<0) 开口向下,越大开口越小 记一记 1.确定下列二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. (2) y=2x2-4x-1; (2) y=-3(x+3)(x+9). 巩固练习2 2.把二次函数 用配方法化成 的形式为( ). A. B. C. D. 巩固练习2 3.抛物线 的顶点在( ). 巩固练习2 二次函数y=-3x²+ax-b的顶点坐标为(2,-1),则a的值为 . b的值为 。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,而且左右两条抛物线关于y轴对称.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 表示. (1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2)两条钢缆最低点之间的距离是多少? 5 -5 O 10 x/m y/m 桥面 实际应用 解:(1) 所以左侧钢缆最低点坐标为(-20,1), 即钢缆最低点到桥面的距离是1m. 5 -5 O 10 x/m y/m (2)由对称性可知,两条钢缆最低点之间距离为40米. 4.当火箭竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式 表示.经过多长时间,火箭到达它的最高点?最高点的高度是多少? 巩固练习 5.有心理学家研究发现,学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间x(min)之间满足函数关系 y值越大,表示接受能力越强.根据这一结论回答下列问题. (1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强? 在什么范围内,学生的接受能力逐渐减降低? (2)经过多长时间,学生的接受能力最强? 巩固练习 $