备战2023年中考-等边三角形等线段问题

备战2013年中考—等边三角形中等线段问题 东方岳原创（2023.02.13） 【原题】如图，等边△ABC中，D、E分别在BC、AC边上，且BD=CE，连接AD、BE交于点P，M为AB边的中点，求证：PC=2PM. 【分析】等边三角形，为“等腰旋转”模型，又出现“线相等，角六十”和“中点倍长”模型. 因此，本题解法很多，提供几种，仅供参考. 【解法】 简解1：如图，∵△ABC为等边三角形 ∴∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC，又，BD=CE ∴△ABD≌△BCE（SAS） ∴∠BAP=∠CBE ∴∠APE=∠BAP+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60° 作OB⊥BC，交CM的延长线于O 则，点O为△ABP的外心 ∴OP=OB，又M为AB的中点 ∴CM⊥AB 由射影定理得，OP2=OB2=OM•OC ∴△POM∽△COP ∴===2 简解2：如图，∵△ABC为等边三角形 ∴∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC，又，BD=CE ∴△ABD≌△BCE（SAS） ∴∠BAP=∠CBE ∴∠APE=∠BAP+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60° 过点A作AH//BP，交PM的延长线于H 则，∠HAM=∠PBM，∠HAP=∠APE=60° 又，M为AB中点，∴AM=BM 又，∠AMH=∠BMP，∴△AHM≌△BPM（SAS） ∴BP=AH 在AP上取一点G，使AG=AH，则，△AGH为等边三角形， 连接CG，交BE于F，则，△ABP≌△CAG(SAS) ∴∠AGH=∠CGP=60° ∴点H、G、F、C共线，则，△GPF为等边三角形 ∴CF=BP=HG ∴△PGH≌△PFC(SAS) ∴PC=PH=2PM 简解3：如图，延长PE至G，使PG=PA，则△APG为等边三角形 ∴△BAP≌CAG(SAS) 延长PM至F，使FM=PM，则AF=BP=CG 又，AP=AG=GP，∠FAP=∠APG=∠AGP=∠CGP=60° ∴△AFP≌GCP(SAS) ∴CP=PF=2PM 简解4：如图，作AF⊥AP交BE的延长线于F，连接CF 则，PF=2AP，∠AFB=(1/2)∠ACB=30° ∴点C为△ABF的外心 ∴==== 又，∠MAP=∠CBF=∠CFP ∴△MAP∽△CFP ∴== ∴CP=2PM 简解5：如图，作等边△FBP，连接AF 则，△AEB≌△CPB（SAS） ∴AE=CP 延长PM至F，使MF=MP，连接AF 则，△AFM≌△BPM（SAS） ∴AF=BP=EP，∠FAP=∠APE=∠EPA=60° 又，AP=PA ∴△FAP≌△EPA（SAS） ∴PC=AE=PF=2PM 简解6：如图，延长BE至F，使AF=AP，连接CF 则，△ABP≌△ACF（SAS） 取AC的中点，延长AF至H，使HF=AF 则，CH=2GF=2PM 又，∠PFC=∠HFC=60°，PF=AF=HF，FC=FC ∴△PFC≌△HFC（SAS） ∴PC=CH=2PM 简解7：如图，延长BE至F，使AF=AP，连接CF 则，△ABP≌△ACF（SAS） ∴BP=CF，∠AFC=∠APB=120° 延长AP至G，使PG=AP 则，BG=2PM，PG=AP=AF 又，∠BPG=∠CFP=60° ∴△BPG≌△CFP(SAS) ∴PC=BG=2PM 简解8：如图，在BE上截取EF=DP 则，△AEF≌△CDP（SAS） ∴AF=CP 作AH⊥BE于H 则，BF=AP=2PH 在BE上取一点G，使BP=GP 则，AG=2PM，GH=FH ∴PC=AF=AG=2PM 学科网（北京）股份有限公司 $