第12章 二次根式 讲义2022-2023学年 苏科版数学八年级下册

第12章 二次根式 苏科版数学八年级下册同步拔高练习 专题一 二次根式的定义及运算 1.二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，其中叫做被开方数. 2.二次根式a有意义的条件：. 3.二次根式的性质： （1）双重非负性 形如的式子，， （2）两个重要公式 ①， ② 4.运算法则： 【例1】 1．下列式子一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．在式子，，，，，，，中，二次根式有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】 1．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　 A． B． C． D．为任何实数 2．若在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．式子中的取值范围是　 　． 【例3】 1．如果，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．已知实数，满足，则化简的结果是　 　． 3．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为　 　． 4．若，则的结果是　　 A．0 B． C．0或 D．2 5．已知：是的小数部分，求的值． 【例4】 1．若，为实数，，则的平方根是　 　． 2．无论取任何实数，代数式都有意义，则的取值范围为　 　． 3．已知实数、、满足关系式， 求的值． 专题二 二次根式的化简 5.最简二次根式： 满足：（1）被开方数不含开方开的尽的因数或因式； （2）被开方数不含分数； （3）分母中不含根号. 则称这样的二次根式为最简二次根式，化简二次根式就是使二次根式成为最简二次根式的过程。 6.同类二次根式： 把几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式为同类二次根式。 7.二次根式加减运算： ①化成最简二次根式； ②找同类二次根式； ③合并同类二次根式. 【例5】 1．下列根式中是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．若二次根式是最简二次根式，则可取的最小整数是　 　． 【例6】 1．如果与最简二次根式是同类二次根式，那么的值 是　　 A． B． C．1 D．2 2．如果最简二次根式和是同类二次根式，则　 　． 3．已知最简二次根式与可以合并，那么的值为　 　． 【例7】 1．等式成立的条件是　　 A． B． C． D． 2．若则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．把二次根式中根号外的因式移到根号内，结果是　 　． 【例8】 1．下列二次根式的运算：①，②，③ ，④；其中运算正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 3．如果，，那么下面各式：①，②，③， 其中正确的是　　 A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4已知，，，那么的最后结果是　 　． 5．下列各式化简，若不正确的，请在括号内写出正确结果，若正确的，请在括号内打“”． ①　 　②　 　③　 　④　 　． 【例9】 1．计算 （1）； （2）； （3）． （4）； （5）． （6） （7） （8） （9） 【例10】 1．已知，． （1）求的值； （2）求的值． 2．已知：，． 求值：（1）； （2）； 3．已知： （1）求的值； （2）设，，求的值． 满分挑战 先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例如： 解决问题： ①模仿上例的过程填空： 　 　　 　　 　　 　 ②根据上述思路，试将下列各式化简． （1） （2）． 答案版： 【例1】 1． 【解答】解：、中被开方数不一定大于0，不一定是二次根式，故该选项不合题意； 、中不一定大于0，不一定是二次根式，故该选项不合题意， 、中，被开方数恒大于0，故该选项符合题意； 、中，被开方数不一定大于0，不一定是二次根式，故该选项不合题意； 故选：． 2． 【解答】解：，，符合二次根式的定义． ，无意义，不是二次根式． 属于三次根式． 不是根式． 故选：． 【例2】 1． 【解答】解：代数式在实数范围内有意义， 而， 的取值范围是：为全体实数． 故选：． 2． 【解答】解：由题意得，， 解得，， 故选：． 3． 【解答】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 【例3】 1． 【解答】解：， ， 解得：， 故选：． 2． 【解答】解：原式， ， ， 原式 ， 故答案为：． 3． 【解答】解：根据数轴得：， ，， 原式． 故答案是：7． 4．