11.2 第一课时 正弦定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

11.2　正弦定理 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题． 重点 难点 重点：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 难点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明. 1．正弦定理 正弦 第一课时　正弦定理 对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化． 1．(多选)有关正弦定理的叙述正确的是 (　　) A．正弦定理只适用于锐角三角形 B．正弦定理不适用于钝角三角形 C．在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值 D．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 解析：正弦定理适用于任意三角形，故A、B均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故C正确；由比例性质和正弦定理可推知D正确． 答案：CD [典例]　在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b.　　 已知两角及一边解三角形的策略 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． [提醒]　若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．　　 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c. [拓展] 若把本例(3)中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，试判断角A有几个值？ 已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤 (1)利用几何法判定三角形解的情况，有时利用“大角对大边”可作简单的判断； (2)当三角形有解时，利用正弦定理求出另一边的对角的正弦值，根据三角形解的个数求角； (3)利用三角形内角和定理求出第三个角； (4)利用正弦定理求出第三边．　　 [典例]　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b①，且sin Acos C＝3cos Asin C②，则b的值为________． 边角互化是利用正、余弦定理解三角形的重要途径，一般地，若条件式含有角的余弦或角的正弦齐次式，则可用余弦定理或正弦定理化角为边；若条件式含有边的二次式或条件式等号两边为齐次式，则可利用余弦定理或正弦定理化边为角．通过边角互化，可使边角关系具体化．　　 解析：由正弦定理，可得sin Acos A＝sin2B，即sin Acos A＝1－cos2B，所以sin Acos A＋cos2B＝1. 答案：A 一、在典题训练中内化学科素养 正弦定理是工具，是用代数方法解决几何问题的工具，同时也可以与三角恒等变换知识综合考查，因此要特别重视正弦定理的应用．主要考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养． 考查正、余弦定理在解三角形中的应用，利用正弦定理得到关于边的关系，利用余弦定理求得结果．　　 考查正弦、余弦定理的综合应用，题2条件缺失，让考生选择条件并解答，题目灵活，思路清晰．　　 5．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当a＝________时，满足条件“b＝2，A＝30°”的△ABC有两个．(仅写出一个a的具体数值即可) 答案：1.1((1,2)内任一数) “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价(十八) (单击进入电子文档) 43 文字语言 三角形的各边和它所对角的______的比相等 符号语言 eq \f(a,sin A)＝______＝______ eq \f(b,sin B) eq \f(c,sin C) 2．正弦定理的常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)． (2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)(R为△ABC外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). (5)asin B＝bsin A，as