“四翼”检测评价（十二） 正弦定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十二） 正弦定理 (一)基础落实 1．(多选)以下关于正弦定理或其变形的叙述正确的是(　 ) A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b C．在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B；若A＞B，则sin A＞sin B D．在△ABC中，＝ 解析：选ACD　由正弦定理易知A、C、D正确．由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π， 即A＝B，或A＋B＝，∴a＝b，或a2＋b2＝c2，B错误． 2．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　 ) A.＋1　　　　　　 B．2＋1 C．2 D．2＋2 解析：选C　由已知及正弦定理，得＝， ∴b＝＝＝2. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的长等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　∵B＝45°，C＝60°，∴A＝75°，∴最短边为b.∵c＝1，∴由＝，得b＝＝＝＝.故选A. 4．在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状为(　 ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形 解析：选B　由已知及正弦定理得sin C＝2sin Acos B＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin Acos B＝cos Asin B， 即sin(A－B)＝0，所以A＝B. 故△ABC为等腰三角形． 5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝，c＝，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是(　 ) A. B．(，2) C．(1,2) D．(1，) 解析：选B　在△ABC中，根据正弦定理＝，得＝，所以sin A＝x，由题意可得，当A∈∪时，满足条件的△ABC有两个，所以<x<1，解得<x<2.则x的取值范围是(，2)． 6．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为________． 解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，∴由正弦定理，得a∶b∶c＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k＞0)，则cos C＝＝＝. 答案： 7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________. 解析：在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1.因为0°＜B＜120°，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2. 答案：2 8．在△ABC中，已知B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角的正切值为________． 解析：不妨设a为最大边，c为最小边，由题意有＝＝，即＝.整理得(3－)sin A＝(3＋)cos A．∴tan A＝2＋. 答案：2＋ 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则sin B＝______，b＝______. 解析：在△ABC中，由cos A＝，cos C＝， 可得sin A＝，sin C＝， 所以sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝.又a＝1，故由正弦定理得，b＝＝. 答案：　 10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－. (1)求B的大小； (2)若b＝，a＋c＝4，求a的值． 解：(1)由余弦定理，得cos B＝， cos C＝， ∴原式化为·＝－， 整理，得a2＋c2－b2＋ac＝0， ∴cos B＝＝＝－， 又0<B<π，∴B＝. (2)将b＝，a＋c＝4，B＝， 代入b2＝a2＋c2－2accos B，得 13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos， 即a2－4a＋3＝0.解得a＝1或a＝3. (二)综合应用 1．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列等式恒成立的是(　 ) A．a2＝b2＋c2－2bccos A B．asin B＝bsin A C．a＝bcos C＋ccos B D．acos B＋bcos C＝c 解析：选ABC　对于A，根据余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，故A正确；对于B，根据正弦定理边角互化，可得asin B＝bsin A⇔ab＝ab，故B正确；对于C，根据正弦定理，得a＝bcos C＋ccos B⇒sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，故C正确；对于D, 根据正弦定理的边角互化可得，sin A·cos B＋sin Bcos C＝sin C＝sin(A