“四翼”检测评价（十一） 余弦定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

“四翼”检测评价（十一） 余弦定理 (一)基础落实 1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则该三角形的第三条边长为(　 ) A．52　　　 B．2　　　 C．16　　　 D．4 解析：选B　设第三条边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴x＝2. 2. 在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A　由AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C，得13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A. 3. 在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　 ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 解析：选D　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc， 所以由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0， 所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形． 4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若(a－b－c)(a－b＋c)＋ab＝0且sin A＝，则B＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　由(a－b－c)(a－b＋c)＋ab＝0，得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.因为sin A＝，A∈(0，π)，所以A＝或A＝.当A＝时，B＝；当A＝时，A＋C＞π，不合题意．故选A. 5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则(　 ) A．b＝2 B．b＝2 C．B＝60° D．B＝30° 解析：选AD　由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，整理得b2－6b＋8＝0，即(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2.又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°，故选A、D. 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cos A＝________. 解析：由B＝C,2b＝a，得b＝c＝a， 所以cos A＝＝＝. 答案： 7．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝______，AC边上的高为________． 解析：由余弦定理，得 cos A＝＝＝， 又0<A<π，所以A＝，所以sin A＝. 则AC边上的高为h＝ABsin A＝3×＝. 答案：　 8. 在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________. 解析：∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)， ∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc. ∴cos A＝＝＝－. ∵0°＜A＜180°，∴A＝120°. 答案：120° 9．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长． 解：由得 ∴a＞b＞c，∴A＝120°， ∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°， 即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×， 即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10. 当b＝10时，a＝14，c＝6. 10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc. (1)求A的大小； (2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状． 解：(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， ∴a2＝b2＋c2－bc， 而a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴2cos A＝1，∴cos A＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝. (2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝， ∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.　① 又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3， ∴∴b＝c＝， ∴△ABC为等边三角形． (二)综合应用 1．在△ABC中，||＝3，||＝5，||＝7，则·的值为(　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：选C　∵cos C＝＝＝－，∴·＝||||cos C＝3×5×＝－.故选C. 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝，a＝4，则bc的最大值为(　 ) A. B．16 C. D．32 解析：选B　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，因为A＝，a＝4，所以16＝b2＋c2－bc，因为b2＋c2≥2bc，所以16＋bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立． 3．在△ABC中，b2＝ac，且a＋c＝3，cos B＝，则·＝(　 ) A. B．－ C．3 D．－3 解析：选B　∵在△ABC中，b2＝ac，