3.1 向量的数乘运算（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

3．1　向量的数乘运算 1．向量的概念与表示 (1)定义：实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作 ，满足以下条件： ①当λ＞0时，向量λa与向量a的方向 ；当λ＜0时，向量λa与向量a的方向 ；当λ＝0时，0a＝0. ②|λa|＝ ，这种运算称为向量的数乘． (2)λa几何意义： 当λ＞0时，表示向量a的有向线段在 方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 当λ＜0时，表示向量a的有向线段在 方向伸长或缩短为原来的|λ|倍． 相同 相反 |λ||a| 原 反 λa 2．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μ a)＝ ； (2)(λ＋μ)a＝ ； (3)λ(a＋b)＝ ； (4)特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 3．向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(线性组合)． (λμ)a λa＋μa λa＋λb (1)实数与向量数乘λa中，实数λ称为向量a的系数． (2)实数与向量的乘积仍是一个向量，它可以看成实数与实数的乘积的推广．但实数与向量不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无意义． (3)当λ＝0或a＝0时，均有λa＝0.反之，若λa＝0，则λ＝0或a＝0. 1．下列运算正确的个数是 (　　) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a； ③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0　　 B．1　　　C．2　　 D．3 答案：C 答案：C 对数乘向量的四点说明 (1)λa的实数λ叫作向量a的系数． (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小． (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. (4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．　　 [对点训练] (多选)已知λ，μ∈R，则下列命题中正确的有 (　　) A．λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反 B．λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同 C．λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同 D．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反 解析：由λ与向量a的积λa的方向规定，知A、B正确；对于C、D，当λμ＞0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故C、D正确，故选A、B、C、D. 答案：ABCD　 向量线性运算的方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．　　 2．已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y. 向量线性表示的求解思路 (1)结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中． (2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量． (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．　　 一、在典题训练中内化学科素养 高考多以平面几何图形为载体考查平面向量的线性运算，聚焦于向量加法的三角形法则与平行四边形法则，考查直观想象、数学运算的核心素养． 内化素养 数学运算 向量的加、减、数乘混合运算，注意运算律的应用 直观想象 题干并未直接给出图示，要求学生能够根据题干条件画出简单的图形，结合图形进行向量的线性运算 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十八)” (单击进入电子文档) 32 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及其运算规则，理解其几何意义． 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 重点难点 重点：向量的线性运算． 难点：理解向量的数乘运算及其几何意义. (3)单位向量的表示 与非零向量a同方向的单位向量是 ，与非零向量a反方向的单位向量是 . eq \f(a,|a|) －eq \f(a,|a|) 2．若a＝－eq \f(1,2)b(b≠0)，则 (　　) A．a和b方向相同，|a|＝2|b| B．a和b方向相同，|b|＝2|a| C．a和b方向相反，|a|＝2|b| D．a和b方向相反，|b|＝2|a| 答案：D 3.eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(3,2)a－4b等于 (　　) A．2a＋3b　　　　　　 B．a－3b C．2a－3b D．2a－2b 4．设a为任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是(　　) A．e＝eq \f(