第2章 平面向量及其应用 章末小结与质量评估（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．在研究向量的模的运算及夹角运算时能利用公式计算的可以直接应用公式计算，不能直接应用公式的可以应用数形结合的思想进行计算、求解．在应用正弦定理或余弦定理解决实际问题时往往需要根据题意正确地画出图形，根据图形运算求解体现了数形结合的思想． 2．在解决向量的夹角问题，向量的平行、垂直关系的研究均可化归为它们对应向量或向量的坐标运算问题，三角形形状的判定可归结为判断向量的数量积与零的大小的关系问题．向量的数量积的性质：a·a＝a2＝|a|2作为桥梁，沟通了向量与实数间的转换关系．解题时，可根据问题要求选择将向量运算(向量的数量积)转化为实数运算(向量的模)或将实数运算化归为向量运算，体现了转化与化归思想． 3．向量中的一些知识：平行向量可以分为同向向量或反向向量；向量b在a方向上的投影值，随a与b的夹角不同有正数、负数或零等三种情形；用向量法推导正弦定理时，可以通过对锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形的分别讨论而获得，用正、余弦定理求解的斜三角形分为四种类型以及对“已知两边和其中一边对角的三角形”型的解得情况的分析判断等都体现了分类讨论思想． 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． 4. 已知a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝________. 向量数量积的求解策略 (1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用． (2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积． (3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助“a⊥b，则a·b＝0”等解决问题． (4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积．　　 解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.　　 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．　　 阶段综合检测(二) (单击进入电子文档) 31 二、把握重点·常考题型集训 题型一　平面向量的线性运算　 1. 在△ABC中，eq \o(BD,\s\up17(―→))＝eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up17(―→))，若eq \o(AB,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AC,\s\up17(―→))＝b，则eq \o(AD,\s\up17(―→))＝ (　　) A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b　 B．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D．eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b 解析：eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BD,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up17(―→)) ＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up17(―→))－eq \o(AB,\s\up17(―→))) ＝eq \f(2,3)eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up17(―→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.故选A. 答案：A　 2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y