6.3.4&6.3.5平面向量数乘运算的坐标表示及平面向量数量积的坐标表示-【361课堂】2022-2023学年高一数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019必修第二册)

6.3 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量及其应用 6.3.4 平面向量的数乘运算的坐标表示 1 课程标准 1.理解平面向量基本定理及其意义 2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解与坐标表示 3.会用坐标表示向量的加、减运算和数乘运算 4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个向量的夹角 5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件 2 复习回顾 回顾 平面向量加、减运算的是怎么用坐标表示？ 平面向量加、减运算的坐标表示 设，. 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 已知，，则 3 新课导入 在平面向量的运算还有数乘运算与数量积运算，它们能否利用坐标进行运算？它们的公式是怎样的？ 这节课我们将继续学习用坐标的方式进行向量的运算表示。 4 一 二 三 教学目标 掌握向量的数乘运算的坐标表示 掌握向量共线的坐标运算 能解决相关的数乘运算的问题 教学目标 新知探究 探究一：向量的数乘运算的坐标表示 6 新知讲解 问题1 向量的数乘运算是怎么定义的？ 问题2 已知，你能得出的坐标吗？ ,其中是常数。 即 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 开括号运算 7 例题讲解 例6.已知求的坐标. 解： 开括号运算 8 新知探究 探究二：向量的共线的坐标表示 9 新知讲解 问题4 如何用坐标表示两个向量共线的条件？ 问题3 两个向量共线的充要条件是什么？ 共线的充要条件是存在实数，使. 10 新知讲解 设其中我们知道，共线的充要条件是存在实数，使. 如果用坐标表示，可写为 即消去，得. 这就是说，向量共线的充要条件是. 你还发现了什么？ 对应的数值成比例关系，这也是判断向量共线的重要方法。 11 例题讲解 例7.已知且，求. 解：因为， 所以0. 解得 还可以用对应数值成比例的方式求解 12 新知探究 探究三：向量的数乘运算的坐标表示的应用 13 例题讲解 例8.已知判断三点之间的位置关系. 解：在平面直角坐标系中作出三点(如图). 观察图形，我们猜想三点共线. 下面来证明： 因为 又 所以//. 又直线，直线有公共点， 所以三点共线. 数形结合，大胆假设，认真求证 14 例题讲解 例9.设是线段上的一点，点，的坐标分别是. (1)当是线段的中点时，求点的坐标； (2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 15 例题讲解 解：(1)如图，由向量的线性运算可知 所以，点的坐标是. 若点，的坐标分别为 线段的中点的坐标为，则. 为线段的中点坐标公式 16 例题讲解 (2)如图，当是线段的一个三等分点时，有两种情况， 即或. 如果，那么 ， 即点的坐标是 同理，如果，那么点的坐标是. 17 新知讲解 问题5 如图，线段的端点的坐标分别是，点是直线上的一点.当时，点的坐标是什么？ 分点的坐标表示 解：由已知，可以设点，将用坐标表示： 由此可得： 于是，，. 即点的坐标是 18 小结 1.平面向量数乘运算的坐标表示 已知，那么即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2.平面向量共线的坐标表示 设其中， 共线的充要条件是. 19 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 20 一 二 三 教学目标 掌握向量数量积的坐标表示 掌握向量夹角运算的坐标运算 能解决相关的数量积运算的问题 教学目标 新知探究 探究一：向量数量积坐标表示及夹角运算的坐标表示 22 新知讲解 问题1 已知，，怎样用与的坐标表示呢？ 因为，， 所以 . 又 所以 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 数量积： 23 新知讲解 由此可得 (1)若，则，或. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为， 那么， (2)设则 24 例题讲解 例10.若则是什么形状？证明你的猜想. 解：如图，在平面直角坐标系中画出点，我们发现是直角三角形.证明如下. 因为 ， 所以 于是. 因此，是直角三角形. 25 新知讲解 问题1 已知、两个向量都是非零向量，那它们间夹角公式是什么？ 追问 是与的夹角，你能否推出夹角运算的坐标表示吗？ . 26 例题讲解 例11.设求及的夹角 (精确到1°). 解： 因为 所以用计算器计算可得， 利用计算工具可得 27 新知讲解 例12.用向量方法证明两角差的余弦公式 图1 图2 解：如图，在平