2023年九年级中考数学二轮复习专题 几何问题探究 练习

中考数学二轮复习专题 《几何问题探究》练习 1.在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点(与点B，C不重合)，连结AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M. (1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)； (2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明． 2.探究:如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的长是x， (1)若AB=5，CD=3，BC=11，试求x的最大值和最小值； (2)在(1)的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗? 3.(1)问题发现：如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE. 填空：①∠AEB的度数为 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图②，△ACB和△DCE均为等 腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由. 4.【探究】 如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P. （1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A=　 　度，∠P=　 　度 （2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由. 【应用】 如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　. 5.在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）． （1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 三角形． （2）猜想，当a2+b2 c2时，△ABC为锐角三角形； 当a2+b2 c2时，△ABC为钝角三角形． （3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围． 6.如图，点C是线段AB上一点，△ACM与△BCN都是等边三角形． （1）如图①，AN与BM是否相等？证明你的结论； （2）如图②，AN与CM交于点E，BM与CN交于点F，试探究△ECF的形状，并证明你的结论． （3）如图①，设AN、BM交点为D,连接CE,求证:DC平分∠ADB. 7.(1)如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AE⊥BF于点G，求证：AE＝BF； (2)如图2，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，F分别在边CD，AD上，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论； (3)在(2)的基础上，若AB＝m，BC＝n，其他条件不变，请直接写出AE与BF的数量关系；　 　. 8.操作与研究： 如图，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上. (1)指出图中AC的投影是什么，CD与BC的投影呢? (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理. 通过上述结论的推理，请证明以下两个结论： ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD. 9.【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM. 【探究展示】 （1）证明：AM=AD＋MC； （2）AM=DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 【拓展延伸】 （3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明. 10.定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解： (1)如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD． 求证：四边形ABCD是等补四边形； 探究： (2)如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由． 运用： (3)如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长． 参考答案 解：(1) ∠AMQ＝45°＋α.理由如下： ∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α， 又∵QH⊥AP，∠AHM＝90°， ∴∠