第一章三角形的证明含辅助线证明题练习三 2022—2023学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明含辅助线证明题练习三 1. 已知，在中，，，，垂足为点，且，连接． 如图，求证：是等边三角形； 如图，若点、分别为，上的点，且，求证：； 利用中的结论，思考并解答：如图，为上一点，连结，当时，线段，，之间有何数量关系，给出证明． 2. 如图，在中，是中线， 若，则______； 若平分，求证：； 如图在和的共同条件下，在外部另取一点，连接、、，，，，求的长． 3. 已知在中，，点为左侧一动点，如图所示，点在的延长线上，交于，且． 求证：； 求证：平分； 若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数． 说明：三边相等的三角形的每个内角均为 4. 本小题分 如图，，平分，平分，点在上，求证：． 【变式】  已知，在中，为的平分线． 如图，若，，求证：； 如图，若，，求证：． 5. 问题提出：如图，已知等边的边长为，为的中点，是上一动点，则的最小值为______ ． 问题探究：如图，在中，，，，在三角形内有一点满足，求的值． 问题解决：如图，某地在脱贫攻坚乡村振兴中因地制宜建造了个特色农产品种植基地，，现需根据产品中转点修建通往种植基地，，的道路，，，方便农产品的储藏运输，根据地质设计，路段每米造价是的倍，路段每米造价是的倍已知米，，要使修建条道路费用最小，即求的最小值． 6. 如图，是等边三角形、是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交，边于，两点，连接． 探究线段、、之间的数量关系，并证明； 若点、分别是，延长线上的点，其他条件不变，请作出图形，再探究线段，，之间的数量关系．不要求证明 7. 如图，在中，，，是等边三角形，点在边上．   如图，当点在边上时，求证； 如图，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； 如图，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，求的长． 8. 在中，，在的外部作等边，为的中点，连接并延长交于点，连接． 如图，若，求的度数； 如图，的平分线交于点，交于点，连接． 补全图；若，求证：． 9. 已知：是等边三角形，点在直线上、点在的延长线上，且，连接，为的中点，连接、， 如图，若，连接，求：的度数； 如图，若，试说明：． 10. 如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，． 求的度数； 求证：点在的垂直平分线上． 11. 如图，已知中，，，，直线是的垂直平分线，分别交、于、两点． 求线段的长度 如图，联结，作的平分线交于，求证：． 12. 如图，在中，，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直线于，分别交直线、、于点、、． 当直线经过点时如图，证明：； 当是的中点时，写出和之间的数量关系，并加以证明； 请直接写出、、之间的数量关系． 13. 如图，在中，，，中，． 如图，若，，在外作等边． 求证：求的长． 如图，若，，求的长． 14. 已知是等边三角形，点是的中点，点在射线上，点在线段上，． 如图，若点与点重合，求证：； 如图，若点在线段上，，求的值． 15. 如图，等边中，为边上一点，以为斜边作使，，连接并延长与射线交于点． 求证：； 若，，求的面积． 16. 如图，是等边三角形，、为上两点，且，延长至点，使，连接． 如图，当、两点重合时，求证：； 延长与交于点． 如图，求证：； 如图，连接，若，，则的面积为______． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $