6.2.4平面向量数量积复习讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的数乘与数量积 题型一 数量积的运算 【1】 已知|a|＝2，|b|＝5. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a⊥b，求a·b； (3)若a、b夹角为60°，求a·b. 【2】已知向量与不共线，且，，若，则_______. 【3】（建系法）如图在中，，为中点，，，，则（　　） A． -15 B．-13 B． C．13 D．14 【4】已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________. 【5】（基底法） 在三角形中，若为边的三等分点，则　 　． 【6】已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数的值为__________. 【7】已知是的斜边上的高，在延长线上，，若的长为2，则______. 【8】如图，在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上. ，点M在线段EF上，且满，则　 　；若点N为线段BD上一动点，则 的取值范围为　 　. 题型二、向量的夹角 【9】已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. ①求|b|； ②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值． 【10】已知，是单位向量，，，若，则，的夹角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【11】非零向量满足，则与的夹角为（       ） A． B． C． D． 【12】设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角. 【13】已知非零向量满足有实根，则的夹角的取值范围是( ) A. B. C. D. 题型三、向量的模长 【14】若向量与的夹角为60°，，，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．12 【15】已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________. 【16】已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为 A. B. C.7 D.8 【17】（多选）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ） A． B．2 C． D．5 【18】已知平面向量，则的最大值（ ） A． B． C． D． 【19】已知，对，恒有，且点满足N为OA的中点，则的值为__________，的值为__________. 题型四、向量的投影 【20】已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（ ） A．3 B．-3 C．- D． 【21】已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（ ） A. B. C. D. 【22】已知，在方向上的投影为，在方向上的投影为，则与的夹角为_____. 【23】设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ） A.－ B.－ C. D. 【24】在中,则在方向上的投影为（ ）． A．4 B．3 C．-4 D．5 学科网（北京）股份有限公司 $ 向量的数乘与数量积 题型一 数量积的运算 【1】 已知|a|＝2，|b|＝5. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a⊥b，求a·b； (3)若a、b夹角为60°，求a·b. 【解析】(1)当a∥b时，若a、b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a|·|b|cos0°＝10； 若a、b反向，则它们的夹角为180°.所以a·b＝|a|·|b|cos180°＝－10. (2)当a⊥b时，夹角为90°，所以a·b＝|a|·|b|·cos90°＝0. (3)当a、b夹角为60°时，a·b＝|a|·|b|cos60°＝5. 【2】已知向量与不共线，且，，若，则_______. 【答案】 【解析】由得 由得，所以 则 【3】（建系法）如图在中，，为中点，，，，则（　　） A．-15 B．-13 C．13 D．14 【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 又，，， 则， 即，即， 则， 则，， 则； 故答案为：C． 【4】已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________. 【答案】8 【解析】过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，可得D，E为AB，AC的中点， 则＝ ＝×（25﹣9）＝8． 【5】（基底法） 在三角形中，若为边的三等分点，则　 　． 【解析】 若， 则，即有0， ． 为边的三等分点， 则 ． 【6】已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】∵，∴，∴ 【7】已知是的斜边上的高，在延长线上，，若的长为2，则______. 【答案】4 【解析】由题意，是的