第19讲 导数中的同构系列-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 第19讲 导数中同构与放缩的应用 思维导图-----知识梳理 同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题． 当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的， 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 考法一 部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上） 思维导图-----方法梳理 在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式： (1)当a＞0且a≠1时，有， (2)当a＞0且a≠1时，有 再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹) (3)， (4)， (5)， 再结合常用的切线不等式：，，，等，可以得到更多的结论 (6)，．，． (7)，,， (8)，,， 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知，则函数的最大值为________． 例2.函数的最小值是________． 例3.函数的最小值是________． 例4.不等式恒成立，则实数a的最大值是________． 例5.不等式恒成立，则正数a的取值范围是________． 例6.已知函数，其中b＞0，若恒成立，则实数a与b的大小关系是________． 例7.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________． 例8.已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是________． 例9.已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是________． 例10.已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是________． 例11.　(2020届太原二模)已知函数. (1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 1．函数的最小值为________．套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 2．函数的最小值为________． 3．函数的最大值是________． 4．已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________． 5．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________． 6．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________． 7．已知a，b分别满足，则ab＝________． 8．已知x0是函数的零点，则________． 考点二　整体同构携手脱衣法 在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法． 1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移） (1) >k(x1<x2)f(x1)－f(x2)<kx1－kx2f(x1)－kx1<f(x2)－kx2y＝f(x)－kx为增函数； (2) <(x1<x2)f(x1)－f(x2)>＝－f(x1)＋>f(x2)＋y＝f(x)＋为减函数； 含有地位同等的两个变x1，x2或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小） 2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数） (1)积型： 如，，后面的转化同(1) 说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知． (2)商型： (3)和差： 如；． 3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键） (1)； (2) ； (3)． 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.若，则( ) A．　 B．　 C．　 D． 例2.若，都有成立，则a的最大值为(　　) A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．e　　　　　　　　D．2e 例3.已知，在区间内任取两实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 例4.　对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数 (1) (2) (3) (4) (5) 例5.已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________． 例6.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D． 例7.对任意，不等式恒成立，则实数