第17讲 双变量之拐点偏移-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

学生版 第17讲 双变量问题之拐点偏移 思维导图-----方法梳理 1．拐点：在的某邻域内，是函数图象凹与凸的分界点，则P为函数图象的拐点.若是函数图象的拐点，则必有，如图1所示. 2．拐点偏移：极值点偏移问题是以轴对称为背景产生的偏移问题，相应的，拐点偏移问题则是以中心对称为背景产生的偏移问题.当曲线在拐点P处左右两侧的递增（或递减）速率不对称，一般会形成拐点偏移.如图2所示，设，为函数图象上两点，满足，则从图上看，必有，其中为点C的横坐标. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知函数，为的导函数. （1）求的极值； （2）若正实数，满足，证明：. 例2．已知函数 （1）讨论的单调性； （2）设，且，证明：. 1．己知函数，为的导函数.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 （l）求的单调区间； （2）若，且，证明：. 2．已知函数. （1）证明：； （2）若，且，证明：. 3．已知函数，. （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）若，且，试比较和的大小，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $教师版 第17讲 双变量问题之拐点偏移 思维导图-----方法梳理 1．拐点：在的某邻域内，是函数图象凹与凸的分界点，则P为函数图象的拐点.若是函数图象的拐点，则必有，如图1所示. 2．拐点偏移：极值点偏移问题是以轴对称为背景产生的偏移问题，相应的，拐点偏移问题则是以中心对称为背景产生的偏移问题.当曲线在拐点P处左右两侧的递增（或递减）速率不对称，一般会形成拐点偏移.如图2所示，设，为函数图象上两点，满足，则从图上看，必有，其中为点C的横坐标. 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.已知函数，为的导函数. （1）求的极值； （2）若正实数，满足，证明：. 【解析】（1）由题意，，，， 所以，，从而在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，无极大值. （2）由（1）可得，所以在上单调递增，且，不妨设， 若，则，不合题意， 若，则，不合题意，所以， 要证，只需证，即证①， 因为，所以，代入式①知只需证， 即证，令， 则， 所以在上单调递增，结合知， 从而，故不等式成立. 例2．已知函数 （1）讨论的单调性； （2）设，且，证明：. 【解析】（1）由题意，，，， 当时，，，所以，故单调递减， 当时，，，所以，故单调递增， 从而，故在上单调递增. （2）由（1）可得在上单调递增，且， 若，则，不合题意， 若，则，不合题意，所以， 要证，只需证，又在上单调递增， 所以只需证①， 因为，所以， 代入式①知只需证，即证， 令， 则， ， 设，则， 所以在上单调递增，结合知， 设，则，所以在上单调递增， 结合知，所以，从而在上单调递减， 又，所以，从而在上单调递增， 又，所以， 因为，所以，故不等式成立. 注意：上面证明的过程也可按下面的放缩法来完成. ，易证，当且仅当时等号成立， 所以当时，，， 从而，接下来的做法同上. 1．己知函数，为的导函数.套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 （l）求的单调区间； （2）若，且，证明：. 【解析】由题意，，，所以，， 从而的增区间是，减区间是. （2）由（1）可得，所以在R上单调递增，且， 若，则，不合题意， 若，则，不合题意，所以， 要证，只需证，结合在R上单调递增知只需证①， 又，所以，代入①知只需证， 即证，下面证明对任意的成立， 设， 则， 当时，，所以在上单调递增， 结合可得，所以在上单调递减， 又，所以， 因为，所以，故不等式成立. 2．已知函数. （1）证明：； （2）若，且，证明：. 【解析】（1）由题意，，设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减，从而，故恒成立，所以，故. （2）由题意，，，， 所以，，从而在上单调递增，在上单调递减， 故，所以在上单调递减，且， 若，则，不合题意， 若，则，不合题意，所以， 要证，只需证，结合在上单调递减知只需证， 又，所以，故只需证，即证①， 令，， 则， ，所以在上单调递增，又，所以，从而在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以，即不等式①成立，故. 3．已知函数，. （1）若恒成立，求实数a的取值范围； （2）若，且，试比较和的大小，并说明理由. 【解析】（1）， 设，则，所以，， 从而在上单调递减，在上单调递增，故， 因为恒成立，所以，故实数a的取值范围是. （2）由题意，， 设，则， 所以，，从而在上单调递减，在上单调递增， 故，所以，故在上单调递增，且， 若，则，不合题意， 若，则，不合题意，所以， 下面先证明，而要证，只需证， 因为，，且在上单调递增，所以要证，只需证， 又，所以，从而只需证，即证， 设，， 则 ， 所以，从而在上单调递增， 又，所以，故在上单调递减， 因为