第16讲 极值点偏移问题-2023年高考数学专题复习重难考点题型突破之导数、数列（全国通用）

[文档标题] 第16讲 极值点偏移问题 思维导图-----知识梳理 1.极值点偏移的含义 若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的图示及函数值的大小关系如下表所示. 极值点x0 函数值的大小关系 图示 极值点不偏移 x0＝ f(x1)＝f(2x0－x2) 极值点偏移 左移 x0< 峰口向上：f(x1)< f(2x0－x2) 峰口向下：f(x1)> f(2x0－x2) 右移 x0> 峰口向上：f(x1)> f(2x0－x2) 峰口向下：f(x1)< f(2x0－x2) 2.函数极值点偏移问题的题型及解法 极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式： (1) 若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (2) 若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (3)若函数f(x)存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0； (4)若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求证：f′(x0)>0. 3.极值点偏移问题的一般解法 3.1对称化构造法 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 3.2．差值代换法（韦达定理代换令.） 差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 3.3．比值代换法 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 3.4．对数均值不等式法 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 3.5指数不等式法 在对数均值不等式中，设，，则，根据对数均值不等式有如下关系： 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 方法一:对称化构造法 思维导图-----方法梳理 对称化构造法 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． (1) 不含参数型 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 例1.已知函数 （1）求函数的最大值； （2）设，若，证明：. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：． 2．已知函数. (1)若是增函数，求实数a的取值范围； (2)若有两个极值点，，证明：. 3．（2021•浙江期中）已知函数有两个不同的零点，． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． (2) 含参型 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1．已知函数． (1)若，证明：； (2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：． 例2. 已知函数（a为常数）. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若，求不等式的解集； （Ⅲ）若存在两个不相等的整数，满足，求证：. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.函数有两极值点，且. 证明：. 方法二: 比值代换法（韦达定理代换令） 思维导图-----方法梳理 比值代换法 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，