2023年苏科版九年级中考数学复习米勒最大角专题模型

米勒最大角模型 1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，一般的米勒问题如下： 米勒问题：已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，则当P在何处时， 使得∠APB最大？ 对米勒问题有如下重要结论称之为米勒定理。 米勒定理：已知点A、B是∠MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的一个动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大。 最大张角模型方法归纳： 问题：两定点A、B在一角的一条边上，另一个动点P在这个角的另一条边上，P点在何处时∠APB最大（动点成线+动点所对的边为定值） 解决方法：过点A、B两点作圆和另一边相切，当点P运动到切点时∠APB最大（动点所成的线与过动点和定长的圆相切，因为有切线和弦 所以必有弦切角→构造母子型相似或切割线定理） 理论依据：同弧所对的圆周角相等，圆外角小于圆周角，圆内角大于圆周角 1.如图，在平面直角坐标系中，已知A（2,0），B（8,0），点P时y轴是上一个动点，当 ∠APB最大时，点P的坐标为 ； 2.如图，在直角坐标系中，给定两点N（1,4），M（-1,2），在x轴的正半轴上求一点P，使∠MPN最大，则点P的坐标为 ； ( 第 2 题图 ) ( 第 1 题图 ) 3.已知点D为∠ABC的一边BC上一定点，且BD=5，线段PQ在∠ABC另一边AB上移动且PQ=2，若sin∠B=,则当∠PDQ达到最大值时PD的长为 。 4.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在AD上，连接BP、CP，则sin∠BPC的最大值为 ； ( 第 3 题图 ) ( 第 4 题图 ) 5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，M是CD的中点，P是BC上一动点，若∠DPM的度数最大，则BP= ； 6.如图，在Rt△ABC中AB=3,BC=4,D为BC中点，P为AC上的动点，tan∠BPD的最大时值为 ； ( 第 6 题图 ) ( 第 5 题图 ) 7.在平面直角坐标系中，点A（0,2），B(a,a+2),C(b,0)（a＞0,b＜0）,若AB=，则当∠ACB最大时，b的值为 ； 8．如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切与点D并交B延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则BP＝　 　． 9．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE＝DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK∥BC，且PK＝2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为＝　 　． ( 第 9 题图 ) ( 第 8 题图 ) 10.如图，在四边形ABCD中，AD／／BC,CD⊥BC,∠ABC=60°，AD=8，BC=12，问在边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小，若存在，求出此时cos∠BPC的值，若不存在，请说明理由。 11.如图，在矩形ABCD中，AB=6，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE=90° （1）证明：△ABF～△FCE； （2）当DE取何值时，∠AED最大 12：如图,已知足球球门宽AB约为5√2米，一球员从距B点5√2米的C点(点A、B、C均在球场底线上)，沿着AC成45°角的CD方向带球。试问，该球员能否在射线CD.上找到一点P，使得点P为最佳射门点(即∠APB最大) ?若能找到，求出这时点P与点C的距离；若找不到，请说明理由。 13.如图，O是坐标原点，过点A（-1,0）的抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点 （1）求b的值； （2）连结BD、CD，动点Q的坐标为（m,1）. ①当四边形BQCD是平行四边形时，求m的值； ②连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标。 14.如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12. （1）如图①，点M时四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为 ； （2）如图②，点N是四边形ABCD边AD的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值； （3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由； 15.如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与