6.3 平面向量基本定理及坐标表示（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.3平面向量基本定理及坐标表示（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）理解平面向量基本定理及其意义。 （2）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 （3）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 （4）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个向量的平面夹角。 （5）能用坐标示平面向量共线、垂直的条件。 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 平面向量基本定理是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任意向量的表示，为今后平面向量的坐标运算建立向量坐标的一个逻辑基础，只有正确地构建向量的坐标才能有正确的坐标运算。平面向量的基本定理的研究综合了前面学习过的向量知识，同时又为后续的学习做了奠基，起到了承前启后的作用。 四、【教学设计思路/过程】 课时安排： 约 5课时 教学重点： 平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及平面向量运算的坐标表示。 教学难点： 平面向量基本定理唯一性证明。 五、【教学问题诊断分析】 6.3.1平面向量基本定理 引言：上节我们学习了向量的运算，知道位于同一条直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力. 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ 1、复习回顾 问题1：向量的加法运算法则 三角形法则：首尾连连首尾 平行四边形法则同起点,连角线 问题2：平面向量共线定理 若向量(≠ )与共线, 则当且仅当有唯一一个实数λ, 使得=λ. 即与共线= .(2)当λ<0时, 与共线反向. (1) 当λ>0时, 与共线同向; 问题3：当是零向量时，还能用表示吗？ 答：可以，取，，则 问题4：若向量与共线，那么还能用这种形式表示吗？ 答：若向量与共线，取，则 若向量与共线时，取，则 问题5：平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式，这种表示形式是唯一的吗？ 答：假设 即（λ1－μ1）e1+（λ2－μ2）e2=0 假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0 不妨假设λ1－μ1≠0 则 由此可得e1，e2共线，与已知e1，e2不共线矛盾 则λ1－μ1，λ2－μ2全为0，即λ1=μ1，λ2=μ2 所以表示形式是唯一的 2、新知探究 平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a， 有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底 注意：(1)基底不唯一，关键是不共线 (2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解 (3)基底给定时，分解形式唯一 【例1】如图，不共线，且，用表示 解：因为 所以 重要结论：如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则 【例2】如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形 证明：如图，设＝a，＝b 则＝a＋b，＝a－b 因为CD＝AB，所以CD＝DA 因为a2＝CD2，b2＝DA2 所以 因此CA⊥CB．于是△ABC是直角三角形 方法规律　平面向量基本定理的作用以及注意点 (1) 根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算 (2) 基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量 3．课堂检测 设计意图：例题变式练. 1、如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是(　A　) A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内 D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 2.(多选)如图，设是平行四边形两对角线的交点，有下列向量组，可作为该平面内的其他向量基底的是（ ）. A.与 B.与 C.与 D.与 答案：AC. 解：结合图形可知，与不共线，与不共线， ∴A、C可以作为基底.B、D两组向量分别共线，故不可以作为基底. 3、在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以 ＝e1，＝e2表示 解：＝－＝e1－e2 因为D，E，F