高考高频点-立体几何球的切接之几何体外接球“球心”探究讲义-2023届高三数学二轮专题复习

几何体外接球“球心”探究 外接球问题是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和高考重要的考点，此类问题实质是定球心求半径，确定球心位置是解决此类问题的关键，本专题我们来研究定球心的办法： 预备知识： 1.平面内的线段的垂直平分线：平面内到线段AB两端点距离相等的点在中垂线上， 如下图，平面内经过AB中点垂直于AB的直线即为线段AB的中垂线 2.多边形各顶点都在圆上的圆叫做多边形的外接圆，三角形的外接圆圆心是任意两边或三边的垂直平分线的交点，三角形外接圆圆心叫外心。 3.三角形外接圆半径求解需先求出三角形三条边垂直平分线的交点，再用两边的乘积除以第三边上的高，这样求出来是外接圆直径，然后再根据假设的方程代入即可得出。 4.正弦定理是解三角形的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即 5.空间内线段的中垂面：在空间内到两定点的距离相等的点在线段AB的中垂面上， 如下图：在空间内过AB中点C作垂直于AB的平面即为线段AB的中垂面 6.空间内到多边形各定点距离相等的点的轨迹：过多边形的外心作多边形所在平面的垂线即为点的轨迹。如下为到三角形三点的距离相等的点的轨迹（直线） 7.定义：在空间内如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个点就是该简单多面体的外接球的球心，距离即为球半径。 8.直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点； (1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点； (2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点； (3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点； (4)顶点在底面射影在多边形顶点的棱锥可构造成直棱柱寻找球心； 可利用公式（R为球的半径，r为底面多边形外接圆的半径，h为直棱柱的高）求几何体外接球的半径。 9.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心； 如空间四边形ABCD满足A,B,C,D四点在球O的球面上，边AB的中点即为球心O. 10.平面四边形ACBD，将三角形ACD沿直线CD折起，已知的外心为I，的外心为G，分别作出到A,C,D和B,C,D的距离相等的点的轨迹直线，当两条直线相交时交点O即为空间四边形ACBD的外接球的球心。 如下图：为折叠中四面体ACBD的外接球球心的形成与变化 一、设点解方程定“球心” 例1.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P-ABE外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，由圆的性质，为直角三角形，， 如图所示，设外接球半径为R，底面圆心为Q，外接球球心为O， 由外接球的定义，，易得O在线段PQ上， 又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径， ∵，则，解得， ∴外接球表面积为. 故选：B． LX1 .刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体．如图，现有一个刍甍，，，，，则该刍甍的外接球体积为______． 【答案】 【解析】连接，，，其中为的中点，为的中点， 因为，， 所以，，， 因为，所以，， 所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 因为四边形为正方形，为的中点，为的中点，所以， 所以，又，，所以四边形为等腰梯形， 取的中点为，则， 所以为正方形的外接圆的圆心， 因为，，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 连接与的中点，则，平面平面，平面，所以平面，设该刍甍的外接球的球心为，则点在直线上，设，球的半径为，则，， 在梯形中，作，垂足为，则，，所以，， 所以，所以，所以， 所以，所以， 所以该刍甍的外接球体积. 故答案为：. LX2.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，所在圆即为的外接圆. 设圆的半径为，则，解得. 因为为等边三角形，所以. 由正弦定理可得，解得. 所以. 如图，当三点共线时，三棱锥的体积最大，最大值为，此时平面，三棱锥的高最大，且有，解得. 设球的半径为，在Rt中，，解得. 所以球的体积. 故选：B. Lx3.如图，在正四棱台中，，且存在一个半径为的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R，则__________． 【答案】 【解析】如图，做该正棱台的轴截面，由题意，设，而， 易得，，，， 且， 所以，即，解得，从而可知, 连接,，交