第五章一元函数的导数及其应用章末小结课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 导数 章末复习讲义 本章内容 5.1 变化率与导数 5.2 导数的计算 5.3 导数在研究函数中的应用 5.4 生活中的优化问题举例 1. 平均变化率与瞬时变化率 (1) 平均变化率: x y O x1 x2 x2-x1 f(x2)-f(x1) f(x2) f(x1) y=f(x) A B C (2) 瞬时变化率: y=f(x) P x y o P0 x0 f(x0) f(x0+x) x0+x 2. 导数 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率 称为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0) 或 y |x=x0, 即 当 x0 是变量 x 时, 所得极限叫导函数, 简称导数. 知识梳理 (1) 函数 y=f(x) 在 x0 处的导数的几何意义是函数过这点的切线的斜率. (2) 导数为正, 函数增; 导数为负, 函数减. (3) 导数的绝对值大时, 函数增减变化快, 图象陡峭; 导数绝对值小时, 函数增减变化慢, 图象较平缓. (4) 运动函数的导数是瞬时速度, 速度函数的导数是加速度. 3. 导数的几何意义 P x0+x x y o y=f(x) P0 x0 f(x0) f(x0+x) Q 4. 基本初等函数的导数公式 (1) 若 f(x)=c, 则 f (x)=0; (2) 若 f(x)=xn (nQ*), 则 f (x)=nxn-1; (3) 若 f(x)=sin x, 则 f (x)=cos x; (4) 若 f(x)=cos x, 则 f (x)= -sin x; (5) 若 f(x)=ax, 则 f (x)=ax lna; (6) 若 f(x)=ex, 则 f (x)=ex; (7) 若 f(x)=logax, 则 f (x)= ; (8) 若 f(x)=lnx, 则 f (x)= 5. 导数运算法则 (1) [f(x) ±g(x)] = f (x) ±g (x); (2) [f(x)·g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x); 6. 复合函数的导数 复合函数 y = f( g(x) ) 的导数和函数 y = f(u), u = g(x) 的导数间的关系为 yx = yu·ux, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 7. 导数与函数的单调性 反之, 若 f(x)<0, 则 f(x) 在这个区域内是减函数. 在区间 (a, b) 内, 若 f(x)>0, 则 f (x) 在这个区间内是增函数; 8. 导数与极值 x y o a b c d e 左正右负 左正右负 左正右负 左负右正 左负右正 极值点处的导数 . 等于0 极大值左边的导数 , 右边的导数 . 大于0 小于0 极小值左边的导数 , 右边的导数 . 小于0 大于0 9. 用导数求函数的极值 (1) 求导数 f(x). (2) 解 f (x)=0, f (x)>0,f (x)<0. (3) 列表确定极值点和极值: 10. 函数的最大值与最小值 如果函数在区间 [a, b] 上的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值. 将区间 [a, b] 上所有极值连同端点的函数值进行比较, 其中最大的一个就是最大值, 最小的一个就是最小值. 例1. 函数 f(x) 的图象如图所示, 下列数值排序正确的是 ( ) (A) 0<f (2)<f (3)<f(3)-f(2) (B) 0<f (3)<f (3)-f(2)<f (2) (C) 0<f (3)<f (2)<f(3)-f(2) (D) 0<f(3)-f(2)<f (2)<f (3) x y O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 分析: 如图, x=2 处的切线的斜率大于 x=3 处的 ∴ f (2)>f (3). 排除 A, D 选项. A B C f(3)-f(2)=|BC| =kAB 小于 f (2) 而大于 f (3).