1.3.1线段的垂直平分线（第1课时）课件2022-2023学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.3 线段的垂直平分线(第1课时) 第一章 三角形的证明 1 一、情境导入 如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头, 使它到两个仓库的距离相等,码头P应建在什么位置? A B 码头P 作AB的线段垂直平分线 基本事实 基本事实 我们曾经利用折纸办法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 请你动手折一折. 尝试证明这一结论吧…… ● ● l A A′ D 2 1 已知点A与点A′关于直线l 对称,如果线段AA′沿直线l 折叠,则点A与点A′重合,AD=A′D,∠1=∠2= 90°,即直线l 既平分线段AA′,又垂直线段AA′. 二、探究新知 知识点一:线段垂直平分线的性质 证明:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知:如图,直线MN⊥AB垂足为C,且AC=BC,P是MN上的任意一点. 求证:PA=PB P A B M C N 证明:∵MN⊥AB, ∴ ∠PCA =∠PCB=90°. ∵ AC=BC,PC=PC, ∴△PCA ≌△PCB ( SAS ). ∴PA=PB (全等三角形的对应边相等) 如果点P与点C重合,那么结论显然成立 二、探究新知 知识点一:线段垂直平分线的性质 定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. A C B P M N 几何语言: ∵ PC⊥AB, AC=BC, ∴PA=PB.(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等) 条件:点在线段的垂直平分线上 结论:这个点到线段两端点的距离相等 二、探究新知 我们知道线段垂直平分线的性质的条件和结论,那么这一性质的逆命题是怎样的呢? 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 二、探究新知 知识点二:线段垂直平分线的判定 证明逆命题:到线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 已知:如图,线段AB,PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 证明:过点P作直线MN⊥AB,垂足为C,则PC是ΔPAB的高. ∵PA=PB ∴PAB是等腰三角形 ∴PC是ΔPAB的中线(三线合一) ∵AC=BC ∴直线MN是线段AB的垂直平分线. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 二、探究新知 总结: 1.线段的垂直平分线可以看成是线段两端点距离相等的所有点的集合. 2.线段是一个轴对称图形,线段的垂直平分线是它的一条对称轴. 三、 知识运用 例1: 已知:如图,AB 是线段CD 的垂直平分线,E,F 是AB上的两点. 求证∠ECF=∠EDF. A B E D C F 证明: ∵AB 是线段CD 的垂直平分线, ∴EC=ED,FC=FD. 在△ECF 和△EDF 中, ∴△ECF ≌ △EDF (SSS). ∴∠ECF=∠EDF. 9 例2:如图,在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB,AC于点E,D. (1)若△BCD的周长为8,求BC的长; (2) 若BC=4,求△BCD的周长. 解: ∵DE是AB的垂直平分线, ∴AD=BD. ∴BD+CD=AD+CD=AC=5. (1)∵△BCD的周长为8, ∴BC=△BCD的周长-(BD+CD)=8-5=3. (2)∵BC=4, ∴△BCD的周长=BC+BD+CD=5+4=9. 四、 课堂检测 B B 1.如图,在△ABC 中,AD 垂直平分BC,AC=CE,点B,D,C,E 在同一直线上,则AB+BD 与DE 的关系是( ) A.AB+DB>DE B.AB+DB<DE C.AB+DB=DE D.不能确定 C 11 四、课堂检测 2.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,DC平分∠ACB,若∠A=50°,则∠B的度数为( ) A.25° B.30 ° C.35 ° D.40 ° B 四、课堂检测 3.如图,在△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E, 求证:直线AD是CE的垂直平分线. 证明:∵DE⊥AB,AC⊥BC, ∴∠AED=∠ACB=90°, 又∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC, 在△AED和△ACD中, ∠AED=∠ACB,∠DAE=∠DAC,AD=AD ∴△AED≌△ACD(AAS), ∴AE=AC,DE=DC ∴AD平分线段EC, 即直线AD是线段CE的垂直平分线. 五、课堂小结 线段的垂直平分线的性质和判定: 性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等. 判定:到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 六、布置作业 书本和基础训练对应1.3(第1课时)习题 谢谢聆听 16 $