3.3垂径定理寒假讲义2022-2023学年 北师大版 九年级数学下册

垂径定理 已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的一条直径，并且 CD⟂ AB ，垂足为 M. 求证：AM=BM; =; =弧 BD. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 证明格式： 1. 已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的一条直径，AM=BM 求证：CD⟂ AB; = =弧 BD 思考：如果 AB 是直径，上述结论成立吗？ 逆定理：平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 证明格式： 2. 已知：如图，CD 是⊙O 的一条直径， =; 求证：CD⟂ AB; AM=BM; =弧 BD 3. 已知：如图， =; =弧 BD 求证：CD 是⊙O 的一条直径，CD⟂ AB; AM=BM; 4. 已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD⟂ AB; =; 求证：CD 是⊙O 的一条直径 ； AM=BM; =弧 BD 5. 已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD⟂ AB; AM=BM 求证：CD 是⊙O 的一条直径 ； =弧 BD ； =; 事实上：直径、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧. 知二可推三. 其中务必重视“直径平分弦时，被平分的弦一定不能是直径. ”这是易错点. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 典例精析： 例 1 ．如图，在⊙O 中，弦 AB 为 8mm ，圆心 O 到AB 的距离为 3mm ，则⊙O 的半径 等于 ( ) A ．3mm B ．4mm C ．5mm D ．8mm 定义：其中 OD 叫弦心距；DC 叫弓形高； 例 2 ．如图， ⊙O 的半径为 3 ，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接 OP ，若 OP＝4， ∠P＝30° ，弦 AB 的长为 ( ) A ．2 B ．2 C ． D ．2 例 3 ．如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C、D． (1) 求证 AC＝BD；(2) 若 AC＝3 ，大圆和小圆的半径分别为 6 和 4，求 CD 的长度． 例 4 ．⊙O 的直径为 10cm ，弦 AB∥CD，AB＝8cm ，CD＝6cm ，求 AB 和 CD 的距离． 例 5 ．如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D ，OE⊥ AC 于 E ．求证：四边形 AEOD 是正方形． 例 6 ．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直 径为 10mm 的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为 8mm ， 求这个孔道的直径 AB． 巩固练习： 1 ．半径等于 12 的圆中，垂直平分半径的弦长为 ( ) ( B ． ) ( C ． ) ( D ． )A． 2 2 ．在直径为 20cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油槽面宽 AB＝ 16cm ，则油的最大深度为 ( ) A ．4cm B．6cm C ．8cm D ．10cm 2 3 4 5 3．△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4 ，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB、 BC 分别交于点 E、D ，则 AE 的长为 ( ) A ． B ． C ． D ． 4 ．如图，⊙O 的弦 AB＝6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4 ，则⊙O 的半 径为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5 ．如图， ⊙O 的直径 CD＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD ，垂足为 M，OM： OC＝3：5 ，则 AB 的长为 ( ) A ．cm B ．8cm C ．6cm D ．4cm 6 ．如图，半径为 13cm 的圆形铁片上切下一块高为 8cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为 ( ) A ．10cmB．16cm C ．24cm D ．26cm 6 7 8 9 7 ．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E ， 已知 CD＝ 12 ，BE＝2 ，