5.6 函数y=Asin(ωχ+φ) 课件（1）

人教2019A版必修 第一册 第五章 三 角 函 数 5.6 函数y=Asin（ωx+φ ）的图像 学习目标 提出问题 上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin（ωx+φ ） 其中（ A＞０ ， ω ＞０ ） 的函数 ． 显然 ， 这个函数由参数 A ， ω ， φ 所确定 ． 因此 ， 只要了 解这些参数的意义 ， 知道它们的变化对函数图象的影响 ， 就能把握这个函数的性质 ． 从解析式看 ， 函数 就是函数y＝Asin(ωx＋φ) 在 A ＝１ ， ω ＝１ ， φ ＝０ 时的特殊情形 ． (1)能否借助我们熟悉的函数 的图象与性质研究参数 A ， ω ， φ 对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响 ？ (2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)含有三个参数 ， 你认为应按怎样的思路进行研究. 1. 探索 φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响 为了更加直观地观察参数φ 对函数图象的影响 ， 下面借助信息技术做一个数学实验 ．如图 5.6.4，取 A ＝１ ， ω ＝１ ， 动点 M在单位圆 上以单位角速度按逆时针方向运动 ．图 5.6.4如果动点 M 以 为起点 （ 此时 φ ＝０ ）， 经过xｓ 后运动到点P ， 那么点 P 的纵坐标 y就等于 sinx ． 以 （ x ， y ） 为坐标描点 ， 可得正弦函数 y =sinx 的图象 ． 在单位圆上拖动起点 ， 使点 绕点 旋转 到 ， 你发现图象有什么变化 ？如果使点 绕点 旋转- , , - ， 或者旋转一个任意角 φ呢 当起点位于 时 ， φ= ， 可得函数y＝sin(x＋) 的图象 ．进一步 ， 在单位圆上 ， 设两个动点分别以 ， 为起点同时开始运动 ． 如果以 为起点的动点到达圆周上点 P的时间为xｓ ， 那么以 为起点的动点相继到达点P 的时间是 (x- ｓ． 这个规律反映在图象上就是 ： 如果 F （ x ， y ） 是函数y＝sinx 图象上的一点 ， 那么 G(x- , y )就是函数 y＝sin(x＋) 图象上的点 ， 如图 5.6-4所示 ． 这说明 ， 把正弦曲线y＝sinx 上的所有点向左平移 个单位长度 ， 就得到y＝sin(x＋) 的图象 ． 分别说一说旋转- , , - 时的情况 ． 一般地 ， 当动点 M 的起点位置 Q所对应的角为φ 时 ， 对应的函数是 y＝sin(x＋φ) (φ0) ， 把正弦曲线上的所有点向左（ 当 φ ＞０ 时 ） 或向 右 （ 当 φ ＜０ 时 ） 平移 个单位长度 ， 就得到函数y＝sin(x＋φ) 的图象 ． 2. 探索 ω （ ω ＞０ ） 对y=sin（ωx+φ ） 图象的影响下面 ， 仍然通过数学实验来探索 ．如图 5.6.5， 取圆的半径 A=1． 为了研究方便 ， 不妨令φ ＝． 当 ω ＝１ 时得到y＝sin(x＋) 的图象 ． 取 ω ＝２ ， 图象有什么变化 ？ 取 ω ＝ 呢 ？取 ω ＝３ ，ω ＝ ， 图象又有什么变化 ？当 ω 取任意正数呢? 取ω ＝２ 时 ， 得到函数 y＝sin(2x＋) 的图象 ．进一步 ， 在单位圆上 ， 设以 为起点的动点 ， 当 ω ＝１ 时到达点 P 的时间为 ｓ ，当 ω ＝２ 时到达点 P的时间为 ｓ． 因为 ω ＝２ 时动点的转速是 ω ＝１ 时的 ２ 倍 ，所以 ＝． 这样 ， 设 G （ x ， y ） 是函数y＝sin(x＋) 图象上的一点 ， 那么K （， y ） 就是函数y＝sin(2x＋)图象上的相应点 ， 如图 5.6-5示 ． 这说明 ， 把y＝sin(x＋) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（ 纵坐标不变 ）， 就得到 y＝sin(2x＋) 的图象 ．y＝sin(2x＋) 的周期为， 是y＝sin(x＋) 的周期的 倍 ． 同理 ， 当 ω ＝ 时 ， 动点的转速是 ω ＝１ 时的 倍 ， 以为起点 ， 到达点 P的时间是 ω ＝１ 时的 ２ 倍 ． 这样 ， 把y＝sin(x＋) 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 ２ 倍 （ 纵坐标不变 ）， 就得到 y＝sin(x＋) 的图象 ． y＝sin(x＋)的周期为４π， 是 y＝sin(x＋) 的周期的 ２ 倍 ． 一般地 ， 函数 的周期是 ， 把 y＝sin(x＋ φ) 图象上所有点的横坐标缩短 （ 当 ω ＞１ 时 ） 或伸长 （ 当 ０＜ ω ＜１ 时 ） 到原来的 倍 （纵坐