13.2.3直线与平面所成的角课件-2021-2022学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

直线与平面所成的角 班级： 教师：蔡陈 空间中线面关系 1.直线与直线：线线角（已学） 2.直线与平面：线面角 3.平面与平面：二面角 2023/2/13 1.直线与平面有哪些位置关系？ 2.类比异面直线所成的角，如何用数量刻画线面的位置关系？ 复习：异面直线所成的角 一、求法： 1.平移（平行线），使相交，求夹角取锐角（解三角形），如果是钝角取补角。 2.利用空间向量，求方向向量夹角余弦的绝对值。（坐标公式） 二、异面直线所成角的范围：（0°，90°】， 特别地 1.当两条直线夹角为0°，则两直线平行（不异面）。 2.当两条异面直线夹角为90°，则两直线垂直（异面垂直）。 2023/2/13 那么，直线与平面所成的角如何定义呢？ 2023/2/13 由线线角想到… 1.如果∥，能否说直线与平面所成的角度为0°？ 2.如果，能否说明直线与平面所成的角度为90°？ 那其他的“斜线”，怎么求角度呢？ 试在纸上画一条“斜线”与平面相交。 2023/2/13 如图： 2023/2/13 Q l  P 如图： 2023/2/13 Q l  P β O P 看线面垂直时： 如图： 2023/2/13 Q l  P β O P A ∠POA=90°， 能否也在平面α也找到这样的线，求出斜线与平面的角？ 如图： 直线l相对于平面是斜线 斜线：一条与一个平面相交但不垂直的直线。 斜足：斜线与平面的交点。 斜线段：斜线上一点与斜足间的线段。 2023/2/13 Q l  O P 斜直线l与平面所成的角 2023/2/13 Q l  O P 斜线上取一点P，过P向平面做垂线交平面与点O（垂足）。 连接QO， 直线QO是斜线l在平面内的射影（过斜足与垂足的直线） 线段QO是斜线段PQ在平面的射影。 斜直线l与平面所成的角 2023/2/13 Q l  O P 平面的一条斜线与它在这个平面的射影所成的锐角，叫作：这条直线（斜线）与这个平面所成的角。 图中：∠PQO就是直线l与平面所成的角。 （注意到：PQO是直角三角形，求该锐角在直角三角形中比较好求。） 你能说出直线与平面所成的角的范围吗？ 2023/2/13 斜线与平面所成的角 （ 0°, 90°） 直线与平面所成的角 【 0°, 90°】   例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)直线A1B和平面ABCD所成的角； (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 2023/2/13 A B C D A1 B1 C1 D1 (1)直线A1B和平面ABCD所成的角 解： ∵在正方体中，ABCD，A为垂足， ∴∠为直线A1B和平面ABCD所成的角。 在A1B中，A1 =AB， 即∠=45° 故直线A1B和平面ABCD所成的角为45°. 2023/2/13 A B C D A1 B1 C1 D1 (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 分析：在A1B中找到一点，向平面A1B1CD做垂线。 线面垂直→线线垂直， 想一想：A1是斜足，故从B点能否做出垂线？ 2023/2/13 A B C D A1 B1 C1 D1 (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 分析：在A1B中找到一点，向平面A1B1CD做垂线。 线面垂直→线线垂直， 想一想：A1是斜足，故从B点能否做出垂线？ 侧面 2023/2/13 A B C D A1 B1 C1 D1 B C C1 B1 (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 分析：在A1B中找到一点，向平面A1B1CD做垂线。 线面垂直→线线垂直， 想一想：A1是斜足，故从B点能否做出垂线？ 侧面 2023/2/13 A B C D A1 B1 C1 D1 B C C1 B1 O 由正方形的对角线垂直平分，可得到BO⊥B1C (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 分析：BO⊥B1C还不够，需要BO⊥平面A1B1CD。 易证BO⊥ A1B。（思考一下证明过程） 从而易证， BO⊥平面A1B1CD， 从而，O是垂足，A1O是射影， 故∠B A1O是直线A1B和平面A1B1CD 所成的角. 2023/2/13 A B C D A1 B1 C1 D1 O (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 分析：BO⊥B1C还不够，需要BO⊥平面A1B1CD。 易证BO⊥ A1B。（思考一下证明过程） 从而易证， BO⊥平面A1B1CD， 从而，O是垂足，A1O是射影， 故∠B A1O是直线A1B和平面A1B1CD 所成的角. 再根据勾股定理及三角函数知识， 可以求出该角度。 2023/2/13 A B C D A1 B1 C1 D1 O (2)直线A1B和平面A1B1CD所成的角. 解：连接BC1交