小卷10 初高衔接题-【智乐星中考·中考备战】2023年山东日照中考数学

小卷10　初高衔接题 姓名：________ 班级：________ 1．(2019·日照)探究活动一： 如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A(1，3)，B(2，5)，C(4，9)，有kAB＝＝2，kAC＝＝2，发现kAB＝kAC，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx＋b(k≠0)上任意两点坐标P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1≠x2)，则kPQ＝是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y＝kx＋b(k≠0)中的k，叫做这条直线的斜率． 请你应用以上规律直接写出过S(－2，－2)，T(4，2)两点的直线ST的斜率kST＝______． 探究活动二： 数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值． 如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D(2，2)，E(1，4)，F(4，3)．请求出直线DE与直线DF的斜率之积． 综合应用： 如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M(1，2)，N(4，5)，请结合探究活动 二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式． 图1 图2 图3 2．(2017·日照)阅读材料： 在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝. 例如：求点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离． 解：由直线4x＋3y－3＝0知，A＝4，B＝3，C＝－3， ∴点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离为d＝＝. 根据以上材料，解决下列问题： 问题1：点P1(3，4)到直线y＝－x＋的距离为__________； 问题2：已知⊙C是以点C(2，1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y＝－x＋b相切，求实数b的值； 问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两点，且AB＝2，请求出S△ABP的最大值和最小值． 3．阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i；(1＋i)×(2－i)＝1×2－i＋2i－i2＝2＋(－1＋2)i＋1＝3＋i. 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：i3＝________，i4＝________； (2)计算：(3＋2i)×(1－i)； (3)计算：i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 020. 4．阅读下列材料，并解答后面的问题． 在学习了直角三角形的边角关系后，小颖和小明两个学习小组继续探究任意锐角三角形的边角关系：在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c. (1)小明学习小组发现如下结论： 如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则sin B＝，sin C＝，即AD＝c·sin B，AD＝b·sin C，于是________＝________，即＝，同理有＝，＝，则有＝＝. (2)小颖学习小组利用圆的有关性质也得到了类似的结论： 如图2，△ABC的外接圆半径为R，连接CO并延长交⊙O于点D，连接DB，则∠D＝∠A. ∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC＝90°. 在Rt△DBC中， ∵sin D＝＝，∴sin A＝，＝2R. 同理＝2R，＝2R，则有＝＝＝2R. 请你将这一结论用文字语言描述出来： ________________________________． 小颖学习小组在证明过程中略去了“＝2R，＝2R”的证明过程，请你把“＝2R”的证明过程补写出来． (3)直接用前面阅读材料中得出的结论解决问题： 规划局为了方便居民，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一座学校，使它到三个住宅小区的距离相等，已知小区C在小区B的正东方向千米处，小区A在小区B的东北方向，且小区A与小区C之间相距千米，求学校到三个小区的距离及小区A在小区C的什么方向． 参考答案 1．解：探究活动一： 探究活动二： kDE＝－2，kDF＝，kDE·kDF＝－1. 综合应用： kMN＝1，则可设过点N的⊙M的切线的解析式为y＝－x＋b， 将点N的坐标代入得b＝9，∴过点N的⊙M的切线的解析式为y＝－x＋9. 2．解：问题1：4 提示：直线方程整理，得3x＋4y－5＝0， 故A＝3，B＝4，C＝－5， ∴点P1(3，4)到直线y＝－x＋的距离为 d＝＝4. 问题2：直线y＝－x＋b整理，得3x＋4y－4b＝0， 故A＝3，B＝4，C＝－4b. ∵⊙C与直线相切，∴点C到直线