（精讲PPT）第1部分 27微专题五 “隐形圆”在求最值中的运用（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东日照中考数学

精讲本 2023 日照 数学 1 微专题五　“隐形圆”在求最值中的运用 定点定长辅助圆 问题 平面内两定点O，D，动点E到定点O的距离相等，若OD＝d，⊙O的半径为r，求DE的最大值或最小值 作法 以点O为圆心，OE为半径作⊙O，连接OD，直线OD交⊙O于点E 2 3 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，点M是BC的中点，点P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是(　　) A．8 B．6 C．4 D．5 4 解：如图，连接PC. 在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝8. 根据旋转性质可知A′B′＝AB＝8， ∴A′P＝PB′＝PC＝ A′B′＝4， ∴点P在以点C为圆心，PC为半径的圆上运动． ∵CM＝BM＝2，PM≤PC＋CM， ∴当PM经过圆心时取得最大值，即PM≤6， ∴PM的最大值为6(此时P，C，M三点共线)．故选B. 5 线圆最值 6 结论 当直线l与⊙O相离时，PH的最大值为d＋r，最小值为d－r 当直线l与⊙O相切时，PH的最大值为2r，最小值为0 当直线l与⊙O相交时，PH的最大值为d＋r，最小值为r－d 7 例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6.点E是边AD的中点，点P是线段AE上一动点．将△ABP沿BP折叠得到△A′BP，连接A′E，A′C.当△A′CE的面积最小时，点A′到CE的距离为(　　) A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 8 解：由折叠可得A′B＝AB＝4.如图，点A′在以点B为圆心，以4为半径的部分圆弧上运动， 过点B作BH⊥EC，垂足为H，交圆弧于点A′，此时A′H的值最小，即△A′CE的面积最小． ∵四边形ABCD是矩形，∠CDE＝90°，AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCH，∠CDE＝∠BHC＝90°， 9 10 【基本图形】 定弦定角辅助圆 11 【模型分析】 条件：点P是动点，∠APB＝α是定值，线段AB是一条定线段，求与线段长度有关的最值． 作法：当∠APB<90°时，以AB为底边作顶角为2α的等腰三角形，记顶点为O，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O；当∠APB＝90°时，取AB的中点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O；当∠APB>90°时，以AB为底边作顶角为360－2α的等腰三角形，顶点记作O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O. 结论：点P的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆，可求解点圆、线圆有关最值问题． 原理：圆周角定理． 12 例3 (2021·广东)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.点D为平面上一个动点，∠ADB＝45°，则线段CD长度的最小值为________． 13 解：如图，连接OC，作△ABD的外接圆，连接OA，OB，过点O作OE⊥BC于点E.. ∵∠ADB＝45°，AB＝2，∴∠AOB＝90°，∴OA＝OB＝ ， ∴点O的轨迹是以点O为圆心， 为半径的轨迹圆． ∴当O，D，C三点共线，即点D位于D′时，CD的值最小． ∵∠OBA＝45°，∠ABC＝90°，∴∠OBE＝45°. 14 15 【基本图形】 定角定高辅助圆 16 17 例4 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D.若AD＝4，求△ABC面积的最小值． 18 【规范解答】 解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，OB，OC，则BE＝CE＝ BC， OA＝OB＝OC. ∵∠BAC＝60°， ∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°. 设OA＝OB＝OC＝r， 19 20 【基本图形】 阿氏圆 21 22 例5 已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的右侧)如 图，点D为抛物线的顶点，以点A为圆心，1为半径作⊙A，点E为⊙A上的 动点，连接DE，BE，求DE＋ BE的最小值． 23 【规范解答】 解：令y＝0，则0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3， ∴A(3，0)，B(－1，0)， ∴AB＝4. 将抛物线解析式化为顶点式为y＝－(x－1)2＋4， ∴D(1，4)． 24 25 26 点击进入Word版 27 ∴△BCH∽△CED，∴eq \f(BC,CE)＝eq \f(BH,CD). ∵点E是AD的中点，∴DE＝eq \f(1,2)AD＝3. 在Rt△CDE中，CE＝eq \r(CD2＋DE2)＝5， ∴eq \f(6,5)＝eq \f(BH,4)，∴BH＝eq \f(24,5)，∴A′H＝BH－A′B＝eq \f(4,5)＝0.8.