可导函数的概念、运算及几何意义单元复习讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

可导函数的概念、运算及几何意义--高二数学单元复习 -------------------------------------------------知识点与方法总结----------------------------------------------------- 一、平均变化率 1、求函数平均变化率分两步： (1) 作差，先求出⊿x=x2-x1,⊿y=f(x1)-f(x2); (2) 作商，对所求的差作商得 2、求函数平均变化率的注意点： (1) ⊿x可正可负，但不可为0，⊿y可以为0（此时f(x)为常数函数； (2) 求点x0附近的平均变化率，可用的形式. 平均速度= 平均变化率= 二、瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c（或极限值）称为函数在点的瞬时变化率. 三、导数与导函数： 1、导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”， 函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作. 2、导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数=。于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或（或）。 3、导数与导函数的区别 导数与导函数概念不同，导数是在一点处的导数，导函数是某一区间内的导数，对 导函数是以内任一点为自变量，以处的导数值为函数值的函数关系，导函数是函数，而等于某一数值时的导数是一个数值. 判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. 四、导数的几何意义与物理意义 1、导数的几何意义：函数在一点的导数等于函数图形上对应点的切线斜率，即 ，其中是过的切线的倾斜角，过点的切线方程为 2、导数的物理意义 函数在的导数是函数在该点处平均变化率的极限，即瞬时变化率，若函数表示运动路程，则表示在时刻的瞬时速度。 3、求曲线的切线方程有两种情况： 1）是求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其方法如下： (1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率． (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y＝y0＋f ′(x0)(x－x0)．如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴，由切线定义可知，切线方程为x＝x0. 2）是求曲线y＝f(x)过点P(x1，y1)的切线方程，其方法如下： (1)设切点A(x0，f(x0))，求切线的斜率k＝f ′(x0)，写出切线方程y＝y0＋f ′(x0)(x－x0)． (2)把P(x1，y1)的坐标代入切线方程，建立关于x0的方程，解得x0的值，进而写出切线方程． 4、用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 分析：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点． 五、几种常见函数的导数公式： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 若，则． 六、函数的求导法则： 1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。 2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数. 3）函数的商的求导法则：设，是可导的，，则 七、复合函数的导数:设函数u=g(x)在点处有导数u′=g′(x), 函数在点的对应点处有导数y′=f′(u) , 则复合函数在点处有导数, 且y′= f′(u)· u′,然后把u