1.3空间向量及其运算的坐标表示课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识回顾 1.在平面直角坐标系中，如何表示向量？ 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 2.平面向量的加减运算如何用坐标表示？ 3.平面向量的数乘运算如何用坐标表示？ 4.平面向量的数量积如何用坐标表示？ 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 知识回顾 5.平面向量的模如何用坐标表示？ 6.平面向量的夹角余弦值如何用坐标表示？ 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法…….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算. 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算转化为坐标的运算. 类似地，能否利用空间向量基本定理和空 间的单位正交基底，建立空间直角坐标系， 进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标 的一一对应呢？ 空间直角坐标系 在空间选定一点O 和一个单位正交基底 ，以点O 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点， ， ， 叫做坐标向量， 通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面， 它们把空间分成八个部分. Ⅱ Ⅶ Ⅴ Ⅵ Ⅰ Ⅲ Ⅳ Ⅷ • O 空间直角坐标系的划分： 空间直角坐标系的画法 (1)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy =135°(或45°)， ∠yOz =90°. (2)直角坐标系右手定则: 在空间直角坐标系中，握住右手，四指向手心方向折合,从x 的方向沿小于180°的角转向y 轴，大拇指的方向就是z 轴. 在空间直角坐标系Oxyz中， ， ， 为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量 ，且点A 的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使 . 在单位正交基底 下与向量对应 的有序数组(x，y，z)，叫做点A在空间直 角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其 中x 叫做点A 的横坐标、y 叫做点A 纵坐标、 z 叫做点A 竖坐标. 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量 ，作 ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使 . 有序实数组(x，y，z)叫做 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作 . 这样，在空间直角 坐标系中，空间中的点和向量都可以用三 个有序实数表示. 思考 在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗？　 j i O k x y z A B C D A' 过点A分别作垂直于x轴,y轴,z轴的平面，分别交x轴,y轴,z轴于点B,C,D，可以证明x轴,y轴,z轴上的投影向量分别为,, 设点B,C和Dx轴,y轴,z轴上的坐标则A的坐标为(). 求某点A的坐标的方法：先找到点A在xOy平面上的射影A'，过点A'向x轴作垂线，确定垂足B.其中|OB|,|BA'|,|A'A|即为点A坐标的绝对值，再按O→B→A'→A确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)，最后得到相应的点A的坐标． O x y z A B C B′ A′ C′ D′ 解: (1) D'(0,0, 2),C(0,4,0),A'(3,0, 2),B'(3,4, 2) 例题1 空间直角坐标系中一些特殊的点 1.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 Oxy平面 Oyz平面 Ozx平面 坐标形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 空间直角坐标系中一些特殊的点 2.空间直角坐标系中对称点的坐标（关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反） (1)点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,