第6讲 构造函数法 讲义——2023届高考数学二轮复习导数经典技巧与方法30讲

构造函数法 知识与方法 构造函数法是指利用函数的概念与性质,构造辅助函数的一种方法,具有很强的技巧性和创造性.将原不等式进行等价变形,通过构造函数,将恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解. 1.同构式 “同构式”指“结构相同的式子”,是指除了变量不同,其余结构均相同的方程或不等式.在利用不等式处理函数的求值或不等式恒成立问题中,有一部分试题是命题者利用函数单调性构造出来的.如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数),无疑会大大加快解决问题的速度.如:若能变形为,利用的单调性,如果递增,则.这种方法称为同构不等式. 2.导数中同构思想的应用 同构思想的基本思路:先化同构式,再利用单调性. (1)合理变形,得到两个相同结构的式子; (2)构造函数,利用单调性解方程或比较大小. 3.常见的指对变形 (1); (2); (3); (4); (5). 4.指对同构的三种模型 同构三种基本模型(积型、商型、和差型), (1)积型: (2)商型: (3)和差型: 典型例题 指对同构法 【例1】对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【例2】已知函数. (1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴成的三角形的面积; (2)若,求的取值范围. 【例3】已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)设函数,若对任意的恒成立,求实数的取值范围. 【例4】已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)讨论函数的零点个数. 【例5】已知函数. (1)当时,求的最小值; (2)若对任意恒有不等式恒成立. (i)求实数的值; 证明:. 【例6】已知函数,其中为自然对数的底数. (1)当时,求函数的最值; (2)若当时,函数的图象与的图象有交点,求的最大值; (3)若的最小值为0,求的最大值. 双变量同构 【例7】已知函数,对任意,且,都有,则实数的取值范围为______. 【例8】已知函数,在其定义域内任取两个不等实数,,不等式恒成立,则实数的取值范围为______. 【例9】若对,且,都有,则的最小值是______. 【例10】已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)设.如果对任意,求的取值范围. 构造差函数 【例11】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若,且关于的不等式在上恒成立,其中是自然对数的底数,求实数的取值范围. 【例12】已知关于的函数在区间上都恒有. (1)若,求的表达式; (2)若,求的取值范围; (3)若,求证:. 【例13】已知函数. (1)若在上单调,求的取值范围; (2)若函数的图象恒在轴上方,求的最小整数解. 【例14】设函数为的导函数. (1)若,求的值; (2)若和的零点均在中,求的极小值; (3)若,且的极大值为,求证:. 强化训练 1.设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2.已知函数,若对恒成立,求实数的取值范围. 3.已知函数. (1)求的单调区间; (2)若函数,当时,恒成立,求实数的取值范围. 4.已知函数. (1)设的导函数,求的最小值; (2)设,当时,恒成立,求的取值范围. 5.已知函数. (1)当,讨论函数的单调性; (2)若不等式,对恒成立,求实数的取值范围. 6.已知函数. (1)若的最大值是0,求函数的图象在处的切线方程; (2)若对于定义域内任意恒成立,求实数的取值范围. 7.已知函数的定义域为,若对任意的,恒成立,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数,对任意的,当 时,,则实数的取值范围是______. 9.已知函数,且对于任意的,恒成立,则的取值范围是______. 10.已知,若在上恒成立,求的最小值. 11.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)是否存在,使得在区间上的最小值为且最大值为1?若存在,求出的所有值;若不存在,说明理由. 12.已知函数. (1)若曲线与直线相切,求的值; (2)若存在,使得成立,求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 构造函数法 知识与方法 构造函数法是指利用函数的概念与性质,构造辅助函数的一种方法,具有很强的技巧性和创造性.将原不等式进行等价变形,通过构造函数,将恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解. 1.同构式 “同构式”指“结构相同的式子”,是指除了变量不同,其余结构均相同的方程或不等式.在利用不等式处理函数的求值或不等式恒成立问题中,有一部分试题是命题者利用函数单调性构造出来的.如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一函数),无疑会大大加快解决问题的速度.如:若能变形为,利用的单调性,如果递增,则.这种方法称为同构不等式. 2.导数中同构思想的应用 同构思想的基本思路:先化同构式,再利用单调性. (1)合理变形,得到两个相同结构的式