第3讲 数列中的求最值和范围 讲义——2023届高三数学二轮专题复习

第3讲 求最值和范围 求最值和范围是数列部分相对较难的内容,解题方法的核心在于判定数列的单调性,进而来求解最值.判定单调性的方法主要有三种:函数法、作差法、作商法. 函数法 函数法判定数列单调性的核心在于理解数列的本质:数列是一种非连续性函数,即数列是函数上的一些不连续的点,所以我们在解题时只要判定出函数的单调性,就得到了数列的单调性,但这里一定要注意数列的非连续性. 【例1】已知,求数列的最大项与最小项。 【例2】已知,其前项和为,若恒成立,求的最小值. 【例3】知,数列的前项和为,若不等式对所有的正整数都成立,求实数的取值范围. 作差法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列. 若不是严格的单调数列,也可以利用不等式组找到数列的最大项,利用不等式找到数列的最小项. 【例1】是数列的前项和,且,若,求数列中的最小项。 【例2】设公差不为零的等差数列{a}的前项和为,已知,对任意的正整数,都有成立,求实数.的取值范围. 【例3】设,求满足不等式的正整数的最小值. 【例4】已知,若对任意的恒成立,求实数的取值范围. 作商法 作商法:根据或与1的大小关系进行判断. 【例1】 已知,求数列的最小项的值. 【例2】记,若数列为递增数列,求的取值范围. 【例3】记,若数列为递增数列,求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 求最值和范围 求最值和范围是数列部分相对较难的内容,解题方法的核心在于判定数列的单调性,进而来求解最值.判定单调性的方法主要有三种:函数法、作差法、作商法. 函数法 函数法判定数列单调性的核心在于理解数列的本质:数列是一种非连续性函数,即数列是函数上的一些不连续的点,所以我们在解题时只要判定出函数的单调性,就得到了数列的单调性,但这里一定要注意数列的非连续性. 【例1】已知,求数列的最大项与最小项。 【解析】已知,记 在与上都是增函数(图像如下图所示). 考虑数列,当时,递增且各项都大于;当时,递增且都小于.数列的最大项是第4项,值为9,最小项是第5项,值为. 【例2】已知,其前项和为,若恒成立,求的最小值. 【解析】 单调递减. 单调递增. 故. 故的最小值为. 【例3】知,数列的前项和为,若不等式对所有的正整数都成立,求实数的取值范围. 【解析】由题意得,,于是,等价于, 即等价于. (1)当为偶数时,原式变为,,当且仅当,即时等号成立, 当时,取最小值6,故. (2)当为奇数时,原式变为令函数, 则. 当时,;当时,. 即在上单调递增,在上单调递减. 由, 即为奇数, . 综上所述,的取值范围为. 作差法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列. 若不是严格的单调数列,也可以利用不等式组找到数列的最大项,利用不等式找到数列的最小项. 【例1】是数列的前项和,且,若,求数列中的最小项。 【解析】由题意得,,则. 当时,,即, . 当时,,即, .数列的最小项为. 【例2】设公差不为零的等差数列{a}的前项和为,已知,对任意的正整数,都有成立,求实数.的取值范围. 【解析】由题意得,对任意正整数都成立.设. , 当时,数列单调递增; 当时,数列单调递减. 当时,取得最大值,. 【例3】设,求满足不等式的正整数的最小值. 【解析】令, 则当时, 数列为递增数列. ,, 满足不等式的正整数的最小值为11. 【例4】已知,若对任意的恒成立,求实数的取值范围. 【解析】对任意的恒成立,即,对任意的,恒成立. 只需对任意的,恒成立即可. 令,则只需即可. , 当时,,即 ,而. .实数的取值范围为. 作商法 作商法:根据或与1的大小关系进行判断. 【例1】 已知,求数列的最小项的值. 【解析】 ,且, . 当时,. 当时,. , 当时,有最小值. 【例2】记,若数列为递增数列,求的取值范围. 【解析】已知, . 数列为递增数列, ,即. 令, 即. 为递增数列. , 即的取值范围为. 【例3】记,若数列为递增数列,求的取值范围. 【解析】 即的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $