第36讲 函数的最值 讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第36讲 函数的最值 最值就是函数在某个区间上的最大值和最小值,从函数图像直观说来,最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点,由最大值和最小值可以确定函数的值域,我们来看最值的具体定义: （1）设函数的定义域为,若,使得对,均满足,那么称为函数的一个最大值点,称为函数的最大值. （2）设函数的定义域为,若,使得对,均满足,那么称为函数的一个最小值点,称为函数的最小值. 最值是函数的一个重要特征值,研究最值可以得出函数值域,也可以用在求解不等式相关的问题中. 【例】证明不等式,则构造函数,可通过导数求出,由此可得到对于任意的,均有.故. 那如何求解出函数的最值呢?当然还是用到我们的导数来求解,最值问题通常会结合前面所学的单调性、极值和边界值最终来确定最值,下面我们一一讲解. 求无参函数的最值 题型:求函数在上的最大值和最小值. 方法步骤:一般来说,最值点只可能在极值点或者边界点处产生,对于无参函数最值的解题步骤如下: 第一步:求出极值点和极值,极值为. 第二步:求出边界值,即和. 第三步:比较极值和边界值的大小,最大的为最大值,最小的为最小值. 【例1】函数,求在区间上的最大值. 【例2】已知函数,判断的单调性,并求在上的最值. 讨论含参函数的最值 讨论含参函数在区间上的最值,核心在于求出在区间上的单调性和极值,对于最值、单调性和极值之间的关系,有如下常用结论： （1）若函数在区间上单调递增或递减,则与一个为最大值,另一个为最小值. (2)若函数在区间内有极值,则要先求出函数在上的极值,再与,比较,最大的为最大值,最小的为最小值. （3）函数在区间上有唯-个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. 除上述结论外,我们解题时通常会碰到一种求最大或者最小值的常考模型: 最大值模型:求解含参函数(为参数)在上的最大值.解题步骤: 第一步:求出含参的极值点,这个极值点一般为极大值点,并用参数表示,即. 第二步:把极大值点分在区间的左、中、右三种情况来讨论. (1)当极大值点在区间左边时,即,函数(为参数)在上单调递减,则. (2)当极大值点在区间中间时,即,函数(为参数)在上单调递增,在上单调递减,则. (3)当极大值点在区间右边时,即,函数(为参数)在上单调递增,则. 注意:求最小值的模型类似,可自行总结。 【例1】已知为实数,函数,设为在区间上的最小值,请写出的表达式. 【例2】已知函数,求函数在上的最大值. 【例3】求在区间上的最小值. 已知最值反求参数 反求参数问题是给出函数在区间上的最值,来反求参数,其一般步骤是: 第一步:按照上一节的步骤,先讨论出含参数单调性和最值,这个最值通常含参数. 第二步:带人已知的最值反求解参数,求解后验证,不满足则舍去. 【例1】已知函数. (1)讨论的单调性. (2)若在上的最大值为1,求的值. 【例2】已知函数. (1)讨论函数在定义域上单调性. (2)若函数在,e]上的最小值为,求的值. 【例3】已知函数,若的最大值为,求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第36讲 函数的最值 最值就是函数在某个区间上的最大值和最小值,从函数图像直观说来,最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点,由最大值和最小值可以确定函数的值域,我们来看最值的具体定义: （1）设函数的定义域为,若,使得对,均满足,那么称为函数的一个最大值点,称为函数的最大值. （2）设函数的定义域为,若,使得对,均满足,那么称为函数的一个最小值点,称为函数的最小值. 最值是函数的一个重要特征值,研究最值可以得出函数值域,也可以用在求解不等式相关的问题中. 【例】证明不等式,则构造函数,可通过导数求出,由此可得到对于任意的,均有.故. 那如何求解出函数的最值呢?当然还是用到我们的导数来求解,最值问题通常会结合前面所学的单调性、极值和边界值最终来确定最值,下面我们一一讲解. 求无参函数的最值 题型:求函数在上的最大值和最小值. 方法步骤:一般来说,最值点只可能在极值点或者边界点处产生,对于无参函数最值的解题步骤如下: 第一步:求出极值点和极值,极值为. 第二步:求出边界值,即和. 第三步:比较极值和边界值的大小,最大的为最大值,最小的为最小值. 【例1】函数,求在区间上的最大值. 【解析】, 当时,,即单调递减. 当时,,即单调递增. . 又,而, 在区间上的最大值为. 【例2】已知函数,判断的单调性,并求在上的最值. 【解析】的定义域为 设,则.令得, 在上单调递减,在上单调递增, 则.在上为增函数. 在上的最大值为,最小值为. 讨论含参函数的最值 讨论含参函数在区间上的最值,核心在于求出在区间上的单调性和极值,对于最值、单调性和极值之间的关系,有如下常用结论： （1）若函数在区